الوحدة الرابعة — المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية · الإحصاء. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 79 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا متقطعًا توزيعه الاحتمالي: س: −1، 0، 1، 2 و د(س): 0.3، 0.2، 0.4، 0.1 فإن التوقع μ = ……
الإجابة الصحيحة: (أ) 0.3
الشرح: μ = (−1)(0.3) + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 + 2 × 0.1 = −0.3 + 0.4 + 0.2 = 0.3. الخطأ 0.9 من إهمال الإشارة السالبة، و0.5 هو متوسط القيم دون الاحتمالات.
من مميزات معامل الاختلاف أنه ……
الإجابة الصحيحة: (أ) لا يتأثر بوحدات القياس لأنه نسبة مئوية مجردة
الشرح: معامل الاختلاف = (σ ÷ μ) × 100% يصوّر التشتت في صورة نسبة مئوية مجردة من التمييز، فلا يتأثر بالوحدات المقيسة بها الظاهرة.
أي العبارات الآتية صحيحة دائمًا لأي متغير عشوائي متقطع؟
الإجابة الصحيحة: (ب) التباين لا يمكن أن يكون سالبًا
الشرح: التباين والانحراف المعياري كميات موجبة دائمًا (σ هو الجذر التربيعي للتباين). أما التوقع فقد يكون سالبًا وقد لا يساوي أي قيمة من قيم المتغير، والانحراف المعياري قد يكون أصغر من التباين (مثل σ² = 4 و σ = 2).
إذا كان التباين لمتغير عشوائي متقطع س يساوي 1.24 وكان Σ سر² × د(سر) = 5.24 وكان التوقع موجبًا، فإن التوقع μ = ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 2
الشرح: σ² = Σ سر² × د(سر) − μ²، إذن μ² = 5.24 − 1.24 = 4، ولأن μ موجب فإن μ = 2. الخطأ 4 هو μ² وليس μ، و6.48 من جمع المقدارين بدلاً من طرحهما.
مصنع ينتج نوعين من المصابيح: متوسط عمر النوع الأول 80 ساعة بانحراف معياري 12 ساعة، ومتوسط عمر النوع الثاني 150 ساعة بانحراف معياري 18 ساعة. أي العبارات الآتية صحيحة؟
الإجابة الصحيحة: (ج) التشتت النسبي للنوع الثاني أقل لأن معامل اختلافه 12% مقابل 15% للأول
الشرح: معامل الاختلاف للأول = (12 ÷ 80) × 100% = 15%، وللثاني = (18 ÷ 150) × 100% = 12%، فالنوع الثاني أقل تشتتًا نسبيًا (أكثر تجانسًا). المقارنة بالانحراف المعياري وحده خطأ لاختلاف المتوسطين.
أُلقيت قطعة نقود منتظمة 3 مرات متتالية، وكان س متغيرًا عشوائيًا يعبر عن «عدد الصور − عدد الكتابات»، فإن التباين σ² = ……
الإجابة الصحيحة: (د) 3
الشرح: مدى س = {−3، −1، 1، 3} باحتمالات 1/8، 3/8، 3/8، 1/8. μ = 0 للتماثل، و σ² = Σ سر² × د(سر) − 0 = (9 + 3 + 3 + 9)/8 = 3. القيمة 3/4 هي تباين عدد الصور فقط، و 5 تنتج عن اعتبار القيم الأربع متساوية الاحتمال.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا متقطعًا توقعه 1.5 وكان Σ سر² × د(سر) = 3.25 فإن الانحراف المعياري σ = ……
الإجابة الصحيحة: (د) 1
الشرح: σ² = 3.25 − (1.5)² = 3.25 − 2.25 = 1، إذن σ = √1 = 1. الخطأ 1.75 من طرح μ بدلاً من μ²، و1.32 هو جذره.
صندوق به ن بطاقات مرقمة من 1 إلى ن، سُحبت منه بطاقة عشوائيًا، وكان س يعبر عن العدد المكتوب عليها. إذا كان التوقع μ = 5 فإن التباين σ² = ……
الإجابة الصحيحة: (ج) 20/3
الشرح: μ = (1 + 2 + … + ن)/ن = (ن + 1)/2 = 5 فإن ن = 9، وكل قيمة احتمالها 1/9. Σ سر² × د(سر) = (1 + 4 + … + 81)/9 = 285/9 = 95/3، σ² = 95/3 − 25 = 20/3. القيمة 95/3 تنتج عن نسيان طرح μ²، و 33/4 عن أخذ ن = 10.
المتغير العشوائي س توزيعه: س: 1، 2، 3 و د(س): 0.1، 0.8، 0.1، والمتغير العشوائي ص توزيعه: ص: 1، 2، 3 و د(ص): 0.4، 0.2، 0.4. أي العبارات الآتية صحيحة؟
الإجابة الصحيحة: (د) للمتغيرين نفس التوقع وتباين ص أكبر من تباين س
الشرح: توقع كل منهما = 2. تباين س = (0.1 + 3.2 + 0.9) − 4 = 0.2، وتباين ص = (0.4 + 0.8 + 3.6) − 4 = 0.8، فتباين ص أكبر لأن احتمالاته تتركز عند القيم البعيدة عن التوقع.
إذا كان أ، ب حدثين مستقلين، ل(أ) = 0.5، ل(أ ∪ ب) = 0.8، وكان س يعبر عن عدد ما يقع من الحدثين أ، ب، فإن التوقع μ = ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 1.1
الشرح: بالاستقلال: 0.8 = 0.5 + ل(ب) − 0.5 ل(ب) فإن ل(ب) = 0.6. ل(س = 0) = 0.5 × 0.4 = 0.2، ل(س = 2) = 0.5 × 0.6 = 0.3، ل(س = 1) = 0.5. μ = 0.5 + 2 × 0.3 = 1.1. من يهمل التقاطع يأخذ ل(ب) = 0.3 فيحصل على 0.8.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.