الوحدة الخامسة — التوزيع الطبيعي · الإحصاء. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 73 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا متوسطه 18 وانحرافه المعياري 2.5 فإن ل(س < 15) = ل(ص < ك) حيث ك = ……
الإجابة الصحيحة: (أ) −1.2
الشرح: ك = (15 − 18)/2.5 = −3/2.5 = −1.2. القيمة −0.48 تنتج من القسمة على 6.25 (التباين) بدل الانحراف المعياري، و6 من قسمة 15 على 2.5.
طرفا منحنى التوزيع الطبيعي المعياري ……
الإجابة الصحيحة: (د) لا يلتقيان بالمحور الأفقي مهما امتدا
الشرح: من خواص منحنى التوزيع الطبيعي المعياري أن طرفيه يمتدان إلى ما لا نهاية دون أن يلتقيا بالمحور الأفقي، فالمتغير يأخذ قيمه في الفترة ]−∞ ، ∞[.
إذا كان ص متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا معياريًا فإن ل(ص ≤ −1.6) = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.6) = 0.4452
الإجابة الصحيحة: (د) 0.0548
الشرح: ل(ص ≤ −1.6) = 0.5 − ل(−1.6 ≤ ص ≤ 0) = 0.5 − ل(0 ≤ ص ≤ 1.6) = 0.5 − 0.4452 = 0.0548. القيمة 0.9452 هي المساحة على يمين −1.6 لا على يساره.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا انحرافه المعياري 4، وكانت القيمة المعيارية المناظرة لـ س = 50 هي −1.5، فإن المتوسط μ = ……
الإجابة الصحيحة: (أ) 56
الشرح: −1.5 = (50 − μ)/4 ⟸ 50 − μ = −6 ⟸ μ = 56. القيمة 44 تنتج من الخطأ في الإشارة (50 − 6)، و51.5 من جمع 1.5 دون الضرب في σ.
إذا كانت درجات طلاب في امتحان تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 62 وانحرافه المعياري σ، وكانت القيمة المعيارية للدرجة 71 هي ك، فإن ك × σ = ……
الإجابة الصحيحة: (ج) 9
الشرح: ك = (71 − 62)/σ، إذن ك × σ = 71 − 62 = 9. القيمة 133 من الجمع بدل الطرح، و−9 من الطرح بالعكس (62 − 71).
إذا كانت أوزان طلاب إحدى الكليات تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 68 كجم وتباينه 16 كجم² فإن احتمال أن يزيد وزن طالب اختير عشوائيًا على 72 كجم يساوي …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1) = 0.3413 ، ل(0 ≤ ص ≤ 0.25) = 0.0987
الإجابة الصحيحة: (د) 0.1587
الشرح: σ = √16 = 4، ص = (72 − 68)/4 = 1، ل(ص > 1) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587. استخدام التباين 16 بدل σ يعطي ص = 0.25 والناتج الخاطئ 0.4013.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا متوسطه 52 وانحرافه المعياري 4، فأي الاحتمالات الآتية هو الأكبر؟ علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 0.5) = 0.1915 ، ل(0 ≤ ص ≤ 0.75) = 0.2734 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1) = 0.3413 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1.5) = 0.4332 ، ل(0 ≤ ص ≤ 2.5) = 0.4938 ، ل(0 ≤ ص ≤ 3) = 0.4987
الإجابة الصحيحة: (ب) ل(50 < س < 62)
الشرح: بالتحويل إلى ص = (س − 52)/4: ل(46 < س < 54) = ل(−1.5 < ص < 0.5) = 0.6247، ل(50 < س < 62) = ل(−0.5 < ص < 2.5) = 0.1915 + 0.4938 = 0.6853، ل(40 < س < 52) = ل(−3 < ص < 0) = 0.4987، ل(49 < س < 56) = ل(−0.75 < ص < 1) = 0.6147. الأكبر 0.6853؛ طول الفترة وحده أو قربها من المتوسط وحده لا يكفي للحكم.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا متوسطه μ وانحرافه المعياري σ، وكان ل(س > μ + 5) = 0.1056 ، فإن احتمال أن تختلف قيمة س عن μ بأكثر من 6 = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.25) = 0.3944 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1.5) = 0.4332
الإجابة الصحيحة: (ج) 0.1336
الشرح: ل(ص > 5/σ) = 0.1056 ⇒ ل(0 ≤ ص ≤ 5/σ) = 0.3944 ⇒ 5/σ = 1.25 ⇒ σ = 4. ل(|س − μ| > 6) = ل(ص < −1.5) + ل(ص > 1.5) = 2 × (0.5 − 0.4332) = 0.1336. الخطأ 0.0668 من حساب طرف واحد، و0.8664 احتمال الاختلاف بأقل من 6، و0.2112 = 2 × 0.1056 من استخدام 5 بدلًا من 6.
درجات امتحان الإحصاء تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 70 وانحرافه المعياري 8، ودرجات امتحان الجغرافيا تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 60 وانحرافه المعياري 5. حصل طالب على 80 في الإحصاء و68 في الجغرافيا، فأي العبارات الآتية صحيحة؟ علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.25) = 0.3944 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1.6) = 0.4452
الإجابة الصحيحة: (ب) مركزه في الجغرافيا أفضل؛ درجته تزيد على 94.52% من الطلاب
الشرح: الإحصاء: ص = (80 − 70)/8 = 1.25 ⇒ ل(س < 80) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944. الجغرافيا: ص = (68 − 60)/5 = 1.6 ⇒ ل(س < 68) = 0.5 + 0.4452 = 0.9452. إذن درجته في الجغرافيا تتفوق على نسبة أكبر من الطلاب. نسبة 89.44% صحيحة للإحصاء لكنها أقل، والمقارنة بالدرجة الخام أو بالفرق عن المتوسط وحده تهمل اختلاف الانحراف المعياري.
درجات طلاب الفصل الأول تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 70 وانحرافه المعياري 8، ودرجات طلاب الفصل الثاني تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 75 وانحرافه المعياري 4. إذا كانت درجة أحمد هي أقل درجة بين أعلى 6.68% من طلاب الفصل الأول، فإن نسبة طلاب الفصل الثاني الذين تزيد درجاتهم على درجة أحمد = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.5) = 0.4332 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1.75) = 0.4599
الإجابة الصحيحة: (ج) 0.0401
الشرح: في الفصل الأول: ل(س ≥ أ) = 0.0668 ⇒ ل(0 ≤ ص ≤ ي) = 0.4332 ⇒ ي = 1.5، إذن درجة أحمد = 70 + 1.5 × 8 = 82. في الفصل الثاني: ل(س > 82) = ل(ص > (82 − 75)/4) = ل(ص > 1.75) = 0.5 − 0.4599 = 0.0401. الخطأ 0.0668 من افتراض أن النسبة تبقى كما هي في الفصل الأول.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.