الوحدة الرابعة — المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية · الإحصاء. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 63 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا متقطعًا مداه {0، 1، 2، 3} ودالة توزيعه الاحتمالي د(س) = أ(س + 1)، فإن أ = ……
الإجابة الصحيحة: (د) 1/10
الشرح: مجموع الاحتمالات = 1: أ(1 + 2 + 3 + 4) = 10أ = 1، إذن أ = 1/10. الخطأ 1/6 من جمع قيم س فقط (0 + 1 + 2 + 3 = 6) ونسيان إضافة 1 لكل قيمة.
أُلقي حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين، وكان س متغيرًا عشوائيًا يعبر عن مجموع العددين الظاهرين، فإن عدد عناصر مدى المتغير س = ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 11
الشرح: مدى س = {2، 3، 4، …، 12} وعدد عناصره 11. أما 36 فهو عدد عناصر فضاء العينة ن(ف)، و12 من اعتبار المدى يبدأ من 1.
أي مما يأتي يمثل متغيرًا عشوائيًا متقطعًا؟
الإجابة الصحيحة: (د) عدد المكالمات الهاتفية الصادرة لأسرة خلال شهر
الشرح: عدد المكالمات يأخذ قيمًا قابلة للحصر 0، 1، 2، … فهو متقطع (من أمثلة الكتاب). أما الطول والزمن والكتلة فتأخذ أي قيمة في فترة فهي ليست متقطعة.
صندوق به 4 كرات مرقمة من 1 إلى 4، سُحبت منه كرتان واحدة بعد الأخرى مع الإحلال، وكان س يعبر عن «المتوسط للرقمين على الكرتين المسحوبتين»، فإن ل(س ≥ 3) = ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 3/8
الشرح: ن(ف) = 16، والمتوسط ≥ 3 يعني المجموع ≥ 6: (2، 4)، (4، 2)، (3، 3)، (3، 4)، (4، 3)، (4، 4) أي 6 نواتج، إذن الاحتمال = 6/16 = 3/8. الخطأ 5/8 من جعل المجموع ≥ 5 بدلاً من ≥ 6، و3/7 من اعتبار قيم المدى السبع متساوية الاحتمال.
قرص دوّار يعبر المتغير العشوائي س عن العدد الذي يقف عنده المؤشر، وتوزيعه الاحتمالي: س: 1، 2، 3 و د(س): 0.2، 0.5، 0.3. إذا أُدير القرص مرتين مستقلتين، فإن احتمال أن يقف المؤشر عند العدد نفسه في المرتين = ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 0.38
الشرح: الحدث يتكون من ثلاثة أحداث متنافية: (1، 1) أو (2، 2) أو (3، 3)، وكل منها احتماله حاصل ضرب الاحتمالين للاستقلال: 0.2² + 0.5² + 0.3² = 0.04 + 0.25 + 0.09 = 0.38. أما 0.62 فهو احتمال اختلاف العددين، و 0.25 احتمال (2، 2) فقط.
صندوقان بكل منهما ثلاث كرات مرقمة 3، 4، 5، سُحبت كرة عشوائيًا من كل صندوق، وكان س يعبر عن مجموع العددين على الكرتين المسحوبتين، فإن ل(س = 8) = ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 1/3
الشرح: ن(ف) = 3 × 3 = 9، والمجموع 8 في (3، 5)، (4، 4)، (5، 3) أي 3 نواتج، إذن ل(س = 8) = 3/9 = 1/3. الخطأ 1/5 من اعتبار قيم المدى {6، 7، 8، 9، 10} متساوية الاحتمال.
أُلقيت قطعة نقود منتظمة وحجر نرد منتظم معًا، وعُرِّف المتغير العشوائي س بأنه العدد الظاهر على الحجر مضافًا إليه 1 إذا ظهرت الصورة، أو العدد الظاهر على الحجر كما هو إذا ظهرت الكتابة، فإن ل(س ≥ 6) = ……
الإجابة الصحيحة: (أ) 1/4
الشرح: ن(ف) = 2 × 6 = 12 ناتجًا متساوية الاحتمال. س ≥ 6 عند (صورة، 5) و(صورة، 6) و(كتابة، 6) فقط، إذن ل = 3/12 = 1/4. القيمة 2/7 خطأ لأنها تعتبر قيم المدى {1، …، 7} متساوية الاحتمال.
إذا كان س يعبر عن عدد مرات ظهور الصورة عند إلقاء قطعة نقود منتظمة 3 مرات، وكان ص يعبر عن عدد البنات في أسرة لديها طفلان (احتمال إنجاب ولد = احتمال إنجاب بنت)، فأي العبارات الآتية صحيحة؟
الإجابة الصحيحة: (ج) ل(س ≥ 1) > ل(ص ≥ 1)
الشرح: توزيع س: 1/8، 3/8، 3/8، 1/8 للقيم 0، 1، 2، 3، وتوزيع ص: 1/4، 1/2، 1/4 للقيم 0، 1، 2. ل(س ≥ 1) = 7/8 أكبر من ل(ص ≥ 1) = 3/4. أما ل(س = 1) = 3/8 ≠ 1/2، و ل(س = 0) = 1/8 ≠ 1/4، و ل(س ≤ 1) = 1/2 أصغر من ل(ص ≤ 1) = 3/4.
فصل به 10 طلاب منهم 4 بنات، اختير منه طالبان عشوائيًا واحدًا بعد الآخر دون إحلال، وكان س يعبر عن عدد البنات بين المختارَين. إذا عُلم أن س ≥ 1 فإن ل(س = 2) = ……
الإجابة الصحيحة: (أ) 1/5
الشرح: ل(س = 2) = (4/10) × (3/9) = 2/15، و ل(س ≥ 1) = 1 − ل(س = 0) = 1 − (6/10) × (5/9) = 2/3. ل(س = 2 | س ≥ 1) = (2/15) ÷ (2/3) = 1/5. أما 2/15 فهي الاحتمال دون شرط، و 4/25 تنتج عن السحب مع الإحلال.
أُلقي حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين، وكان س يعبر عن مجموع العددين الظاهرين. ما قيمة ك التي تجعل الحدث «س = ك» مستقلًا عن الحدث «ظهور العدد 1 في الرمية الأولى»؟
الإجابة الصحيحة: (ج) 7
الشرح: ل(الأولى 1) = 1/6. لكل ك من 2 إلى 7 يوجد ناتج واحد فقط (1، ك − 1) في التقاطع فاحتماله 1/36، والاستقلال يتطلب 1/36 = ل(س = ك) × 1/6 أي ل(س = ك) = 1/6 = 6/36، وهذا لا يتحقق إلا عند ك = 7. عند ك = 2 مثلًا التقاطع 1/36 بينما حاصل الضرب 1/216، وعند ك = 12 التقاطع مستحيل.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.