الوحدة الرابعة — المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية · الإحصاء. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 65 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كانت د(س) = ك حيث 2 < س < 6، ود(س) = صفر فيما عدا ذلك، دالة كثافة احتمال لمتغير عشوائي متصل س، فإن ك = ……
الإجابة الصحيحة: (د) 1/4
الشرح: المساحة الكلية = 1: مستطيل طوله 6 − 2 = 4 وارتفاعه ك ⇒ 4ك = 1 ⇒ ك = 1/4. القيمة 1/6 من القسمة على الطرف 6 بدل طول الفترة.
أي مما يأتي يدل على متغير عشوائي متصل؟
الإجابة الصحيحة: (أ) الزمن الذي يستغرقه طالب في انتظار الحافلة
الشرح: المتغير المتصل مداه فترة من الأعداد الحقيقية (غير قابلة للحصر) مثل الزمن والطول ودرجة الحرارة، أما الأعداد (أهداف، أرغفة، مخالفات) فقيمها قابلة للعد فهي متغيرات متقطعة.
من شروط دالة كثافة الاحتمال د(س) لمتغير عشوائي متصل س أن ……
الإجابة الصحيحة: (ب) تساوي المساحة أسفل منحنى د وأعلى محور السينات الواحد الصحيح
الشرح: شرطا دالة الكثافة في الكتاب: د(س) ≥ 0 لجميع قيم س في مجال الدالة، ومساحة المنطقة أسفل منحنى الدالة وأعلى محور السينات = 1. جمع قيم الدالة هو شرط التوزيع المتقطع لا المتصل.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا متصلًا دالة كثافته د(س) فإن ل(2 < س < 5) تساوي ……
الإجابة الصحيحة: (ب) مساحة المنطقة أسفل منحنى د وأعلى محور السينات بين س = 2 و س = 5
الشرح: يحسب الكتاب ل(أ < س < ب) بحساب مساحة الجزء المظلل من منحنى الدالة د بين القيمتين وأعلى محور السينات. الفرق أو المجموع لقيم الدالة ليس مساحة.
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا متصلًا دالة كثافته د(س) = (س + 1)/4 حيث 0 < س < 2، ود(س) = صفر فيما عدا ذلك، فأي العبارات الآتية صحيحة؟
الإجابة الصحيحة: (د) ل(س > 1) = 5/8
الشرح: ل(س > 1) = (د(1) + د(2))/2 × 1 = (2/4 + 3/4)/2 = 5/8. ل(س = 1) = صفر للمتغير المتصل (د(1) = 1/2 قيمة الدالة لا احتمال)، و ل(س < 1) = (1/4 + 2/4)/2 = 3/8، و ل(0.5 < س < 1.5) = (3/8 + 5/8)/2 × 1 = 1/2.
أي الدوال الآتية تصلح أن تكون دالة كثافة احتمال لمتغير عشوائي متصل س على الفترة 0 < س < 2 (وصفر فيما عدا ذلك)؟
الإجابة الصحيحة: (أ) د(س) = (2 − س)/2
الشرح: يجب تحقق الشرطين: د(س) ≥ 0 والمساحة = 1. (2 − س)/2 موجبة ومساحتها مثلث 1/2 × 2 × 1 = 1. أما (2س − 1)/2 فمساحتها 1 لكنها سالبة عندما س < 0.5، و س/4 مساحتها 1/2، و(س + 1)/2 مساحتها 2.
زمن انتظار عميل (بالدقائق) في أحد البنوك متغير عشوائي متصل س دالة كثافته د(س) = (20 − س)/200 حيث 0 < س < 20، ود(س) = صفر فيما عدا ذلك. احتمال أن ينتظر العميل أكثر من 10 دقائق يساوي ……
الإجابة الصحيحة: (ب) 1/4
الشرح: ل(10 < س < 20) = مساحة مثلث قاعدته 10 وارتفاعه د(10) = 10/200: 1/2 × 10 × 10/200 = 1/4. القيمة 3/4 هي ل(س < 10)، و1/2 من افتراض أن الدالة ثابتة، و1/20 هي د(10).
إذا كان س متغيرًا عشوائيًا متصلًا دالة كثافته د(س) = (2س + 1)/12 حيث 0 < س < 3، ود(س) = صفر فيما عدا ذلك، وتكررت التجربة مرات مستقلة حتى تتحقق لأول مرة القيمة س < 1، فإن العدد المتوقع لمرات التكرار يساوي ……
الإجابة الصحيحة: (د) 6
الشرح: ح = ل(س < 1) = (د(0) + د(1))/2 × 1 = (1/12 + 3/12)/2 = 1/6. عدد مرات التكرار ~ هندسي(1/6) فتوقعه 1/ح = 6. القيمة 4 تنتج من أخذ د(1) = 1/4 احتمالًا، و30 هي التباين.
اختيرت نقطة عشوائيًا على قطعة مستقيمة طولها 10 سم فقسمتها جزأين، وكان بعد النقطة عن أحد طرفي القطعة متغيرًا عشوائيًا متصلًا س دالة كثافته د(س) = 1/10 حيث 0 < س < 10، ود(س) = صفر فيما عدا ذلك. احتمال أن يكون طول الجزء الأكبر أكبر من 3 أمثال طول الجزء الأصغر يساوي ……
الإجابة الصحيحة: (د) 1/2
الشرح: الجزء الأكبر > 3 أمثال الأصغر يعني أن الأصغر < 10/4 = 2.5 أي س < 2.5 أو س > 7.5. الاحتمال = 2.5 × 1/10 + 2.5 × 1/10 = 1/2. القيمة 1/4 تأخذ طرفًا واحدًا فقط (س < 2.5).
يصل أتوبيس إلى محطة كل 20 دقيقة، وزمن انتظار طالب له (بالدقائق) متغير عشوائي متصل س دالة كثافته د(س) = 1/20 حيث 0 < س < 20، ود(س) = صفر فيما عدا ذلك. إذا ذهب الطالب إلى المحطة 3 أيام مستقلة فإن احتمال أن ينتظر أكثر من 15 دقيقة في يوم واحد فقط منها يساوي ……
الإجابة الصحيحة: (ج) 27/64
الشرح: ح = ل(س > 15) = 5 × 1/20 = 1/4. عدد الأيام ~ حدين(3، 1/4): ل(ص = 1) = 3 × (1/4) × (3/4)² = 27/64. القيمة 37/64 هي احتمال يوم واحد على الأقل، و9/64 احتمال يومين بالضبط.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.