الوحدة الخامسة — التوزيع الطبيعي · الإحصاء. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 63 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كانت أطوال 2000 طالب بإحدى الكليات تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 170 سم، فإن العدد المتوقع للطلاب الذين تزيد أطوالهم على 170 سم = ……
الإجابة الصحيحة: (أ) 1000
الشرح: 170 هي المتوسط، والمستقيم س = μ يقسم المساحة تحت المنحنى إلى نصفين كل منهما 0.5، إذن العدد = 2000 × 0.5 = 1000 طالب.
إذا كانت قيم ظاهرة ما تتبع توزيعًا طبيعيًا، وكانت المساحة من μ − 3σ إلى μ + 3σ تساوي 99.74% من المساحة الكلية، فإن النسبة المئوية للقيم الواقعة خارج هذه الفترة = ……
الإجابة الصحيحة: (د) 0.26%
الشرح: النسبة خارج الفترة = 100% − 99.74% = 0.26% (نصفها 0.13% في كل طرف). أما 4.56% فهي النسبة خارج الفترة من μ − 2σ إلى μ + 2σ.
إذا كان ارتفاع مياه الأمطار خلال شهر فبراير يتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 3 سم وتباينه 4 سم²، فإن القيمة المعيارية المناظرة لارتفاع 1 سم هي ……
الإجابة الصحيحة: (ب) −1
الشرح: σ = √4 = 2، ص = (1 − 3)/2 = −1. القيمة −0.5 تنتج من القسمة على التباين 4 بدل الانحراف المعياري، و−2 من عدم القسمة.
إذا كان الدخل الشهري لـ 200 أسرة يتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 400 جنيه وانحرافه المعياري 80 جنيهًا، فإن عدد الأسر التي تحصل على دخل شهري 500 جنيه على الأكثر لأقرب عدد صحيح = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.25) = 0.3944
الإجابة الصحيحة: (أ) 179
الشرح: «على الأكثر» تعني س ≤ 500: ص = (500 − 400)/80 = 1.25، ل(ص ≤ 1.25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944، العدد = 200 × 0.8944 = 178.88 ≈ 179 أسرة. القيمة 21 تفهم «على الأكثر» على أنها «أكثر من».
إذا كانت أطوال طلاب إحدى المدارس الثانوية تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 160 سم وانحرافه المعياري 5 سم، فإن احتمال أن يختلف طول طالب عن المتوسط بما يزيد على 8 سم يساوي …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.6) = 0.4452
الإجابة الصحيحة: (ج) 0.1096
الشرح: المطلوب ل(|س − 160| > 8) = 1 − ل(152 < س < 168) = 1 − ل(−1.6 < ص < 1.6) = 1 − 2 × 0.4452 = 0.1096. القيمة 0.8904 هي احتمال ألا يزيد الاختلاف على 8 سم، و0.0548 طرف واحد فقط.
في امتحان تقدم له 10000 طالب كانت الدرجات موزعة توزيعًا طبيعيًا متوسطه 70 وانحرافه المعياري 5، فإن العدد المتوقع للطلاب الذين تزيد درجاتهم على 78 = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.6) = 0.4452
الإجابة الصحيحة: (ب) 548
الشرح: ص = (78 − 70)/5 = 1.6، ل(ص > 1.6) = 0.5 − 0.4452 = 0.0548، العدد = 10000 × 0.0548 = 548 طالبًا.
إذا كانت أوزان الطلاب في إحدى الكليات تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 68.5 كجم وانحرافه المعياري 2.5 كجم، فإن النسبة المئوية للطلاب الذين تقع أوزانهم بين 67.5 كجم و71 كجم = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 0.4) = 0.1554 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1) = 0.3413
الإجابة الصحيحة: (أ) 49.67%
الشرح: ص₁ = (67.5 − 68.5)/2.5 = −0.4، ص₂ = (71 − 68.5)/2.5 = 1، الاحتمال = 0.1554 + 0.3413 = 0.4967 أي 49.67%.
في امتحان تقدم له 1500 طالب، كانت الدرجات تتبع توزيعًا طبيعيًا، وحصل 6.68% من الطلاب على أكثر من 82 درجة، وحصل 30.85% منهم على أقل من 66 درجة. العدد المتوقع للطلاب الذين تنحصر درجاتهم بين 62 و78 لأقرب عدد صحيح = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 0.5) = 0.1915 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1) = 0.3413 ، ل(0 ≤ ص ≤ 1.5) = 0.4332
الإجابة الصحيحة: (د) 1024
الشرح: 6.68% فوق 82 ⇒ 82 = μ + 1.5σ، و30.85% تحت 66 ⇒ 66 = μ − 0.5σ؛ بالطرح 2σ = 16 فإن σ = 8 و μ = 70. ل(62 < س < 78) = ل(−1 < ص < 1) = 2 × 0.3413 = 0.6826، والعدد = 1500 × 0.6826 ≈ 1024. الخطأ 512 من حساب نصف الفترة فقط، و444 من وضع 66 فوق المتوسط.
عمر نوع من المصابيح (بالساعات) يتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 800 وانحرافه المعياري 40، ويسمى المصباح «طويل العمر» إذا زاد عمره على 860 ساعة. اختيرت 3 مصابيح عشوائيًا بشكل مستقل، فإن احتمال أن يكون واحد منها فقط طويل العمر لأقرب أربعة أرقام عشرية = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.5) = 0.4332
الإجابة الصحيحة: (أ) 0.1745
الشرح: ح = ل(س > 860) = ل(ص > 1.5) = 0.5 − 0.4332 = 0.0668. عدد المصابيح طويلة العمر من 3 متغير ذات حدين (3، 0.0668): ل(س = 1) = 3 × 0.0668 × (0.9332)² ≈ 0.1745. الخطأ 0.0582 من إهمال المعامل 3ق1 = 3، و0.1873 هو احتمال «واحد على الأقل»، و0.2004 = 3 × 0.0668 من إهمال احتمال الفشل.
تقدم 2000 طالب لامتحان درجاته تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه 65 وانحرافه المعياري 10. ينجح الطالب إذا حصل على 50 درجة فأكثر، ويحصل أعلى 2.28% من الطلاب على تقدير ممتاز. العدد المتوقع للطلاب الناجحين غير الحاصلين على تقدير ممتاز لأقرب عدد صحيح = …… علمًا بأن ل(0 ≤ ص ≤ 1.5) = 0.4332 ، ل(0 ≤ ص ≤ 2) = 0.4772
الإجابة الصحيحة: (د) 1821
الشرح: أعلى 2.28%: ل(0 ≤ ص ≤ ي) = 0.4772 ⇒ ي = 2 ⇒ الحد الأدنى للممتاز = 65 + 2 × 10 = 85. ل(50 ≤ س < 85) = ل(−1.5 ≤ ص < 2) = 0.4332 + 0.4772 = 0.9104، والعدد = 2000 × 0.9104 ≈ 1821. الخطأ 1866 هو عدد كل الناجحين، و88 من طرح المساحتين، و1775 من طرح 2.28% مرة ثانية.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.