أسئلة على ٣-٢ الاحتمال الشرطي

الإجابة الصحيحة: (ب) صفر

الشرح: الحدثان متنافيان، إذن أ ∩ ب = φ و ل(أ ∩ ب) = صفر، ومنه ل(أ | ب) = صفر ÷ ل(ب) = صفر.

الإجابة الصحيحة: (د) 4/11

الشرح: بعد سحب كرة بيضاء يبقى 11 كرة منها 4 بيضاء، إذن الاحتمال = 4/11. القيمة 5/12 تفترض أن الكرة أُعيدت إلى الصندوق.

الإجابة الصحيحة: (د) 1/2

الشرح: الشرط يختزل الفضاء إلى {(ص، ص)، (ص، ك)}، والمطلوب عنصر واحد منهما، إذن الاحتمال = 1/2. القيمة 1/4 هي احتمال ظهور صورتين دون شرط.

الإجابة الصحيحة: (أ) 3/4

الشرح: حدث الشرط = {(1، 3)، (3، 1)، (2، 4)، (4، 2)، (3، 5)، (5، 3)، (4، 6)، (6، 4)} وفيه 8 عناصر، منها 6 عناصر الأول فيها لا يزيد عن 4، إذن الاحتمال = 6/8 = 3/4. القيمة 2/3 هي احتمال ألا يزيد الأول عن 4 دون شرط، و1/6 = 6/36.

الإجابة الصحيحة: (د) 0.52

الشرح: ل(لا يدفع ببطاقة | إنترنت) = 1 − 0.35 = 0.65، ومنه ل(إنترنت ∩ لا يدفع ببطاقة) = 0.8 × 0.65 = 0.52. القيمة 0.28 = 0.8 × 0.35 هي احتمال الشراء بالإنترنت والدفع ببطاقة.

الإجابة الصحيحة: (ب) 6/7

الشرح: أحدهما على الأقل = أ ∪ ب و ل(أ ∪ ب) = 0.3 + 0.5 − 0.1 = 0.7. حدث «أحدهما فقط» محتوى في أ ∪ ب فتقاطعهما هو «أحدهما فقط» واحتماله 0.7 − 0.1 = 0.6. الاحتمال الشرطي = 0.6 ÷ 0.7 = 6/7. القيمة 1/7 هي احتمال وقوعهما معًا بالشرط نفسه، و3/5 تنتج من القسمة على 1 بدل 0.7.

الإجابة الصحيحة: (ج) 3/7

الشرح: فضاء العينة 8 عناصر، وحدث الشرط «صورة على الأقل» فيه 7 عناصر، منها 3 فيها صورتان فقط، إذن الاحتمال = 3/7. القيمة 3/8 تُهمل الشرط، و4/7 تحسب «صورتين على الأقل».

الإجابة الصحيحة: (ج) 0.07

الشرح: من الشجرة البيانية: ل(تالفة) = 0.6 × 0.05 + 0.4 × 0.10 = 0.03 + 0.04 = 0.07. القيمة 0.075 متوسط النسبتين دون وزن، و0.03 تكتفي بفرع الآلة الأولى.

الإجابة الصحيحة: (ج) 0.375

الشرح: ل(الأول ∩ تأخر) = 0.6 × 0.1 = 0.06، ل(الثاني ∩ تأخر) = 0.4 × 0.25 = 0.1 ⇐ ل(تأخر) = 0.16. ل(الأول | تأخر) = 0.06 ÷ 0.16 = 0.375. القيمة 0.625 هي احتمال الطريق الثاني بشرط التأخر، و0.16 احتمال التأخر نفسه.

الإجابة الصحيحة: (ب) ل(شُفي | الدواء الأول) > ل(شُفي | الدواء الثاني)

الشرح: ل(شُفي | الأول) = 60/80 = 0.75 و ل(شُفي | الثاني) = 84/120 = 0.7، فالعبارة صحيحة. أما ل(الأول | شُفي) = 60/144 = 5/12 وهو أقل من ل(الثاني | شُفي) = 7/12 لأن عدد مرضى الثاني أكبر. ل(أ | ب) ≠ ل(ب | أ) عمومًا (0.75 ≠ 5/12)، و ل(لم يُشفَ | الثاني) = 36/120 = 0.3 لا 0.25.