الرياضيات البحتة — أولاً: الجبر والهندسة الفراغية · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 42 سؤال على الدرس ده بالشرح.
تقع الجذور الرابعة للعدد −١٦ على شكل أرجاند على دائرة مركزها نقطة الأصل وتكوّن رؤوس مضلع منتظم. طول نصف قطر هذه الدائرة وقياس الزاوية بين كل جذرين متتاليين هما على الترتيب:
الإجابة الصحيحة: (أ) ٢، ٩٠°
الشرح: الجذور النونية للعدد أ تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها |أ|^(١/ن) = ١٦^(١/٤) = ٢، وتكوّن مضلعًا منتظمًا عدد أضلاعه ٤، فالزاوية بين كل جذرين متتاليين = ٣٦٠°/٤ = ٩٠°.
باستخدام نظرية ديموافر، يمكن التعبير عن جتا٣θ بدلالة قوى جتاθ على الصورة:
الإجابة الصحيحة: (ج) ٤جتا³θ − ٣جتاθ
الشرح: (جتاθ + ت جاθ)³ = جتا٣θ + ت جا٣θ، وبالفك ومساواة الجزأين الحقيقيين: جتا٣θ = جتا³θ − ٣جتاθ جا²θ = جتا³θ − ٣جتاθ(١ − جتا²θ) = ٤جتا³θ − ٣جتاθ.
احسب قيمة (1 + ت)⁸
الإجابة الصحيحة: (أ) 16
الشرح: الخطوة 1: (1 + ت)² = 2ت ⇒ (1 + ت)⁴ = (2ت)² = -4 الخطوة 2: (1 + ت)⁸ = (-4)² = 16 ∴ القيمة = 16
باستخدام نظرية ديموافر، احسب [2(جتا 15° + ت جا 15°)]³
الإجابة الصحيحة: (د) 8(جتا 45° + ت جا 45°)
الشرح: الخطوة 1: نظرية ديموافر: [ر(جتا θ + ت جا θ)]ⁿ = رⁿ(جتا nθ + ت جا nθ) الخطوة 2: ر³ = 2³ = 8 ، nθ = 3 × 15° = 45° الخطوة 3: الناتج = 8(جتا 45° + ت جا 45°) ∴ الناتج = 8(جتا 45° + ت جا 45°)
إذا كانت جاθ = ١/٤، فإن جا٣θ (باستخدام نظرية ديموافر) تساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) ١١/١٦
الشرح: من (جتاθ + ت جاθ)³ ومساواة الجزأين التخيليين: جا٣θ = ٣جتا²θ جاθ − جا³θ = ٣(١ − جا²θ)جاθ − جا³θ = ٣جاθ − ٤جا³θ. إذن جا٣θ = ٣/٤ − ٤/٦٤ = ١١/١٦. (−١١/١٦ ناتج عكس الإشارتين.)
السعة الأساسية للعدد ع = (1 + ت)^5 ÷ (√3 − ت)² تساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) −75°
الشرح: سعة (1 + ت) = 45° وسعة (√3 − ت) = −30°، فسعة ع = 5 × 45° − 2 × (−30°) = 225° + 60° = 285°، والسعة الأساسية = 285° − 360° = −75°. أما 165° فتنتج من طرح 60° بدلًا من إضافتها.
إذا كان ع = 2هـ^(π ت ÷ 4)، فإن ع³ × (مرافق ع) يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ج) 16ت
الشرح: مرافق ع = 2هـ^(−π ت ÷ 4)، فحاصل الضرب = 2³ × 2 × هـ^((3π ÷ 4 − π ÷ 4)ت) = 16هـ^(π ت ÷ 2) = 16(جتا 90° + ت جا 90°) = 16ت.
إذا كان ١ + √٣ ت أحد الجذور السادسة لعدد مركب، فأي مما يأتي جذر سادس آخر للعدد نفسه؟
الإجابة الصحيحة: (د) −١ + √٣ ت
الشرح: الجذور السادسة تقع على دائرة نصف قطرها |١ + √٣ ت| = ٢ وتكوّن سداسيًا منتظمًا، فالزاوية بين كل جذرين متتاليين ٣٦٠°/٦ = ٦٠°. سعة ١ + √٣ ت = ٦٠°، فسعات الجذور ٠°، ٦٠°، ١٢٠°، …؛ و −١ + √٣ ت = ٢(جتا ١٢٠° + ت جا ١٢٠°) منها. أما √٣ + ت و ٢ت و √٣ − ت فمقياس كل منها ٢ لكن سعاتها (٣٠°، ٩٠°، −٣٠°) ليست من مضاعفات ٦٠°.
باستخدام نظرية ديموافر، إذا كان جتا٤θ = ك جتا⁴θ + م جتا²θ + ١ لجميع قيم θ، فإن ك − م =
الإجابة الصحيحة: (ج) ١٦
الشرح: الجزء الحقيقي في (جتاθ + ت جاθ)^٤: جتا٤θ = جتا⁴θ − ٦جتا²θ جا²θ + جا⁴θ. وبوضع جا²θ = ١ − جتا²θ: جتا٤θ = جتا⁴θ − ٦جتا²θ + ٦جتا⁴θ + ١ − ٢جتا²θ + جتا⁴θ = ٨جتا⁴θ − ٨جتا²θ + ١. إذن ك = ٨، م = −٨، ك − م = ١٦.
الجذران التربيعيان للعدد المركب 5 − 12ت هما:
الإجابة الصحيحة: (ب) ±(3 − 2ت)
الشرح: نفرض (س + ص ت)² = 5 − 12ت فيكون س² − ص² = 5 و 2س ص = −12، ومنها س = 3، ص = −2 أو س = −3، ص = 2. للتحقق: (3 − 2ت)² = 9 − 12ت − 4 = 5 − 12ت، بينما (2 − 3ت)² = −5 − 12ت.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.