الرياضيات البحتة — ثانياً: التفاضل والتكامل · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 38 سؤال على الدرس ده بالشرح.
فترات تزايد الدالة د(س) = ٢س³ − ٦س + ١ هي:
الإجابة الصحيحة: (أ) ]−∞، −١[ و ]١، ∞[
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٦س² − ٦ = ٦(س − ١)(س + ١). الخطوة ٢: د׳(س) = ٠ عندما س = −١ أو س = ١. الخطوة ٣: د׳ موجبة عندما س أصغر من −١ أو أكبر من ١، وسالبة على ]−١، ١[. الخطوة ٤: إذن د متزايدة على ]−∞، −١[ و ]١، ∞[
الدالة د(س) = س³ تكون:
الإجابة الصحيحة: (ج) متزايدة على ℝ
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = 3س². الخطوة ٢: 3س² ≥ 0 لكل قيم س. الخطوة ٣: بما أن المشتقة الأولى غير سالبة دائماً فالدالة متزايدة. ∴ الدالة متزايدة على ℝ.
أوجد فترة تناقص الدالة د(س) = س² − 4س + 3.
الإجابة الصحيحة: (د) ]−∞، 2[
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = 2س − 4. الخطوة ٢: نضع د׳(س) = 0 → س = 2. الخطوة ٣: الدالة تتناقص عندما د׳(س) أصغر من الصفر → 2س − 4 أصغر من الصفر → س أصغر من 2. ∴ فترة التناقص هي ]−∞، 2[.
إذا كانت د׳(س) = (س − 2)(س + 3) فإن الدالة ق تتزايد في:
الإجابة الصحيحة: (ج) ]−∞، −3[ ∪ ]2، ∞[
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = (س − 2)(س + 3) ، جذورها س = 2 ، س = −3. الخطوة ٢: معامل س² موجب فتكون ق׳ موجبة خارج الجذرين. الخطوة ٣: د׳(س) أكبر من الصفر عندما س أصغر من −3 أو س أكبر من 2. ∴ فترات التزايد ]−∞، −3[ ∪ ]2، ∞[.
أي العبارات الآتية صحيحة بالنسبة للدالة د(س) = (٢س + ١) ÷ (س − ١) ؟
الإجابة الصحيحة: (ب) د متناقصة على ]−∞، ١[ وعلى ]١، ∞[
الشرح: الخطوة ١: مجال د = ح − {١}. الخطوة ٢: د׳(س) = [٢(س − ١) − (٢س + ١)] ÷ (س − ١)² = −٣ ÷ (س − ١)². الخطوة ٣: د׳(س) سالبة لكل س في المجال. الخطوة ٤: إذن د متناقصة على ]−∞، ١[ وعلى ]١، ∞[ (ولا نقول على ح لأن ١ ليست في المجال)
فترات تناقص الدالة د(س) = س + ٤/س هي:
الإجابة الصحيحة: (ب) ]−٢، ٠[ و ]٠، ٢[
الشرح: الخطوة ١: مجال د = ح − {٠}. الخطوة ٢: د׳(س) = ١ − ٤/س² = (س² − ٤)/س². الخطوة ٣: د׳(س) = ٠ عندما س = ±٢، و د׳ سالبة عندما س² أصغر من ٤ مع س ≠ ٠. الخطوة ٤: إذن د متناقصة على ]−٢، ٠[ و ]٠، ٢[ (لا نكتب ]−٢، ٢[ لأن الصفر ليس في المجال)
إذا كانت د׳(س) = س²(س − 3) فأوجد فترة تزايد الدالة ق.
الإجابة الصحيحة: (د) ]3، ∞[
الشرح: الخطوة ١: النقاط الحرجة عند س = 0 (جذر مكرر) و س = 3. الخطوة ٢: س² ≥ 0 دائماً، فإشارة ق׳ من إشارة (س − 3). الخطوة ٣: ق׳ أكبر من الصفر عندما س − 3 أكبر من الصفر → س أكبر من 3. ∴ فترة التزايد هي ]3، ∞[.
إذا كانت د دالة قابلة للاشتقاق على ح و د׳(س) موجبة لكل س ∈ ح ، وكانت ر(س) = د(٣ − ٢س) ، فإن الدالة ر:
الإجابة الصحيحة: (د) متناقصة على ح
الشرح: الخطوة ١: ر׳(س) = د׳(٣ − ٢س) × (−٢) = −٢ د׳(٣ − ٢س). الخطوة ٢: د׳ موجبة لكل قيم المتغير، فإن د׳(٣ − ٢س) موجبة لكل س ∈ ح. الخطوة ٣: إذن ر׳(س) سالبة لكل س ∈ ح، أي أن ر متناقصة على ح
إذا كانت الدالة د(س) = أ س + جا ٢س متزايدة على ح ، فإن مجموعة قيم أ هي:
الإجابة الصحيحة: (ج) [٢، ∞[
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = أ + ٢ جتا ٢س. الخطوة ٢: لكي تكون د متزايدة على ح يلزم أن تكون د׳(س) ≥ ٠ لكل س، أي أ ≥ −٢ جتا ٢س لكل س. الخطوة ٣: أكبر قيمة لـ −٢ جتا ٢س هي ٢، إذن أ ≥ ٢ (وعند أ = ٢ تنعدم د׳ عند نقاط منفصلة فقط فتبقى الدالة متزايدة، كما أن س³ متزايدة على ح). الخطوة ٤: إذن أ ∈ [٢، ∞[
إذا كانت الدالة د(س) = س³ − ٣ك س (حيث ك عدد موجب) متناقصة على الفترة ]−٢، ٢[ فقط، فإن ك تساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) ٤
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٣س² − ٣ك = ٣(س² − ك). الخطوة ٢: د׳ سالبة عندما س² أصغر من ك، أي على الفترة ]−√ك، √ك[. الخطوة ٣: بالمقارنة مع ]−٢، ٢[: √ك = ٢ ومنها ك = ٤.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.