الرياضيات البحتة — ثانياً: التفاضل والتكامل · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 43 سؤال على الدرس ده بالشرح.
لإيجاد ∫ س² لوهـ س ءس بطريقة التكامل بالتجزيء ∫ ص ءع = ص ع − ∫ ع ءص ، الاختيار المناسب هو:
الإجابة الصحيحة: (ج) ص = لوهـ س ، ءع = س² ءس
الشرح: نختار ص بحيث تكون ءص أبسط من ص ، ونختار ءع بحيث يسهل تكاملها. بأخذ ص = لوهـ س يكون ءص = (١/س) ءس ، ومن ءع = س² ءس يكون ع = س³/٣ ، فيصبح ∫ ع ءص = ∫ (س²/٣) ءس تكاملًا مباشرًا. (والناتج: (س³/٣) لوهـ س − س³/٩ + ث)
إذا كان ∫ س هـ^(٤س) ءس = ص ع − ∫ ع ءص بالاختيار المناسب لكل من ص ، ءع ، فإن ص ع يساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) (١/٤) س هـ^(٤س)
الشرح: نفرض ص = س ، ءع = هـ^(٤س) ءس فيكون ع = (١/٤) هـ^(٤س). ∴ ص ع = (١/٤) س هـ^(٤س). (الناتج ٤س هـ^(٤س) خطأ سببه اشتقاق هـ^(٤س) بدلًا من تكاملها.)
∫ (٢س − ١) هـ^(٢س) ءس يساوي:
الإجابة الصحيحة: (د) (س − ١) هـ^(٢س) + ث
الشرح: نفرض ص = ٢س − ١ ، ءع = هـ^(٢س) ءس فيكون ءص = ٢ ءس ، ع = (١/٢) هـ^(٢س). ∫ = (١/٢)(٢س − ١) هـ^(٢س) − ∫ هـ^(٢س) ءس = (١/٢)(٢س − ١) هـ^(٢س) − (١/٢) هـ^(٢س) + ث. ∴ الناتج = (س − ١) هـ^(٢س) + ث.
إذا كانت د دالة لها مشتقة ثانية متصلة، فإن ∫ س د″(س) ءس يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) س د′(س) − د(س) + ث
الشرح: نفرض ص = س ، ءع = د″(س) ءس فيكون ءص = ءس ، ع = د′(س). ∫ س د″(س) ءس = س د′(س) − ∫ د′(س) ءس = س د′(س) − د(س) + ث.
أوجد ∫ (س + ٢) هـ^(−س) ءس
الإجابة الصحيحة: (أ) −هـ^(−س)(س + ٣) + ث
الشرح: الخطوة ١: بالتجزيء نضع ص = س + ٢ ، ءع = هـ^(−س) ءس ⇐ ءص = ءس ، ع = −هـ^(−س). الخطوة ٢: ∫ ص ءع = −(س + ٢)هـ^(−س) + ∫ هـ^(−س) ءس = −(س + ٢)هـ^(−س) − هـ^(−س) + ث. ∴ الناتج = −هـ^(−س)(س + ٣) + ث
بالتعويض احسب ∫ س²·هـ^(س³) ءس
الإجابة الصحيحة: (ج) (١/٣)هـ^(س³) + ث
الشرح: الخطوة ١: نفرض ص = س³ إذن ءص = ٣س² ءس أي س² ءس = ءص/٣. الخطوة ٢: التكامل = (١/٣)∫هـ^ص ءص = (١/٣)هـ^ص. ∴ الإجابة = (١/٣)هـ^(س³) + ث
عند إيجاد ∫ س هـ^س ءس بالتجزيء بوضع ص = س ، ءع = هـ^س ءس ، اختار طالب ع = هـ^س + ٥ بدلًا من ع = هـ^س. ما أثر ذلك على الناتج؟
الإجابة الصحيحة: (د) لا يتغير الناتج
الشرح: ص ع − ∫ ع ءص = س(هـ^س + ٥) − ∫ (هـ^س + ٥) ءس = س هـ^س + ٥س − هـ^س − ٥س + ث. ∴ الناتج = هـ^س(س − ١) + ث كما هو؛ الحد ٥س يُلغى، فإضافة ثابت إلى الدالة ع لا تغير النتيجة.
إذا كان د″(س) = ٦س − ٢ ، وكان للدالة د قيمة صغرى محلية عند النقطة (١، ٣) ، فإن د(٢) = ......
الإجابة الصحيحة: (ب) ٦
الشرح: د′(س) = ٣س² − ٢س + ث₁ ، وعند النقطة الحرجة د′(١) = ٠ فإن ث₁ = −١. ثم د(س) = س³ − س² − س + ث₂ ، ومن د(١) = ٣ نجد ث₂ = ٤ ، إذن د(٢) = ٨ − ٤ − ٢ + ٤ = ٦.
باستخدام التعويض أوجد ∫ س³ √(س² + ١) ءس
الإجابة الصحيحة: (د) (١/٥)(س² + ١)^(٥/٢) − (١/٣)(س² + ١)^(٣/٢) + ث
الشرح: الخطوة ١: بوضع ع = س² + ١ ⇐ ءع = ٢س ءس ، س² = ع − ١. الخطوة ٢: ∫ س² √(س² + ١) × س ءس = (١/٢) ∫ (ع − ١) ع^(١/٢) ءع = (١/٢) ∫ (ع^(٣/٢) − ع^(١/٢)) ءع. الخطوة ٣: = (١/٢) [(٢/٥) ع^(٥/٢) − (٢/٣) ع^(٣/٢)] + ث = (١/٥) ع^(٥/٢) − (١/٣) ع^(٣/٢) + ث. ∴ الناتج = (١/٥)(س² + ١)^(٥/٢) − (١/٣)(س² + ١)^(٣/٢) + ث
بالتعويض أوجد ∫ س· جذر (س² + ٥) ءس
الإجابة الصحيحة: (د) (١/٣)(س²+٥)^(٣/٢) + ث
الشرح: الخطوة ١: نفرض ص = س²+٥ إذن ءص = ٢س ءس أي س ءس = ءص/٢. الخطوة ٢: التكامل = (١/٢)∫ص^(١/٢) ءص = (١/٢)·ص^(٣/٢)/(٣/٢) = (١/٣)ص^(٣/٢). ∴ الإجابة = (١/٣)(س²+٥)^(٣/٢) + ث
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.