أسئلة على ٢-٤ تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

الإجابة الصحيحة: (ب) ١٠٠ سم²

الشرح: الخطوة ١: نفرض البُعدين س، ص حيث ٢(س + ص) = ٤٠ ومنها ص = ٢٠ − س الخطوة ٢: المساحة: م(س) = س(٢٠ − س) = ٢٠س − س² الخطوة ٣: م׳(س) = ٢٠ − ٢س، نضعها = ٠ ومنها س = ١٠ الخطوة ٤: م״(س) = −٢ أصغر من ٠ إذن نهاية عظمى، والبُعد الآخر ص = ١٠ (فالشكل مربّع) الخطوة ٥: أكبر مساحة = ١٠ × ١٠ = ١٠٠ ∴ أكبر مساحة = ١٠٠ سم²

الإجابة الصحيحة: (ب) ٦٤

الشرح: الخطوة ١: نفرض العددين: س، ١٦ − س الخطوة ٢: حاصل الضرب: ح(س) = س(١٦ − س) = ١٦س − س² الخطوة ٣: ح׳(س) = ١٦ − ٢س، نضعها = ٠ ومنها س = ٨ الخطوة ٤: ح״(س) = −٢ أصغر من ٠ إذن القيمة نهاية عظمى، والعددان ٨ و ٨ الخطوة ٥: أكبر حاصل ضرب = ٨ × ٨ = ٦٤ ∴ أكبر قيمة لحاصل الضرب = ٦٤

الإجابة الصحيحة: (د) ٤٠ م

الشرح: الخطوة ١: نفرض البُعدين: س و ١٠٠/س (لأن المساحة = ١٠٠) الخطوة ٢: المحيط: ح(س) = ٢(س + ١٠٠/س) = ٢س + ٢٠٠/س الخطوة ٣: ح׳(س) = ٢ − ٢٠٠/س²، نضعها = ٠ ومنها س² = ١٠٠ أي س = ١٠ الخطوة ٤: ح״(س) = ٤٠٠/س³ موجبة إذن نهاية صغرى، والبُعد الآخر = ١٠ (فالشكل مربّع) الخطوة ٥: أصغر محيط = ٢(١٠ + ١٠) = ٤٠ ∴ أصغر محيط = ٤٠ م

الإجابة الصحيحة: (ج) ٩٠٠ جنيه

الشرح: الخطوة ١: دالة الربح: ر(س) = −س² + ٨٠س − ٧٠٠ الخطوة ٢: ر׳(س) = −٢س + ٨٠ الخطوة ٣: عند أقصى ربح ر׳(س) = ٠: −٢س + ٨٠ = ٠ ومنها س = ٤٠ وحدة الخطوة ٤: ر״(س) = −٢ أصغر من ٠ إذن نهاية عظمى الخطوة ٥: أقصى ربح = −(٤٠)² + ٨٠(٤٠) − ٧٠٠ = −١٦٠٠ + ٣٢٠٠ − ٧٠٠ = ٩٠٠ ∴ أقصى ربح = ٩٠٠ جنيه

الإجابة الصحيحة: (ج) ٥٠٠ سم³

الشرح: الخطوة ١: نفرض ضلع القاعدة = س والارتفاع = ع، والمساحة (قاعدة + أربعة جوانب): س² + ٤سع = ٣٠٠ ومنها ع = (٣٠٠ − س²)/(٤س) الخطوة ٢: الحجم: ح(س) = س²ع = (٣٠٠س − س³)/٤ الخطوة ٣: ح׳(س) = (٣٠٠ − ٣س²)/٤، نضعها = ٠ ومنها س² = ١٠٠ أي س = ١٠ الخطوة ٤: ح״(س) = −٦س/٤ سالبة عند س = ١٠ إذن نهاية عظمى، والارتفاع ع = (٣٠٠ − ١٠٠)/٤٠ = ٥ الخطوة ٥: أكبر حجم = (١٠)² × ٥ = ٥٠٠ ∴ أكبر حجم = ٥٠٠ سم³

الإجابة الصحيحة: (د) ٤٠٠٠

الشرح: الخطوة ١: نفرض العدد المربّع = ص، والعدد الآخر = ٣٠ − ص الخطوة ٢: الحاصل: ح(ص) = (٣٠ − ص)ص² = ٣٠ص² − ص³ الخطوة ٣: ح׳(ص) = ٦٠ص − ٣ص² = ٣ص(٢٠ − ص)، نضعها = ٠ ومنها ص = ٢٠ الخطوة ٤: ح״(ص) = ٦٠ − ٦ص، وعند ص = ٢٠ تساوي −٦٠ أصغر من ٠ إذن نهاية عظمى، والعدد الآخر = ١٠ الخطوة ٥: أكبر حاصل = ١٠ × (٢٠)² = ١٠ × ٤٠٠ = ٤٠٠٠ ∴ أكبر قيمة = ٤٠٠٠

الإجابة الصحيحة: (د) ٥ أمبير

الشرح: الخطوة ١: ءت/ءن = ٣ جتا ن − ٤ جا ن = ٠ فإن ظا ن = ٣/٤. الخطوة ٢: عند القيمة العظمى (جا ن ، جتا ن موجبان): جا ن = ٣/٥ ، جتا ن = ٤/٥ ، و ء²ت/ءن² = −ت = −٥ سالبة. الخطوة ٣: ت = ٣ × ٣/٥ + ٤ × ٤/٥ = ٩/٥ + ١٦/٥ = ٥. الخطوة ٤: إذن أقصى قيمة لشدة التيار = ٥ أمبير

الإجابة الصحيحة: (ج) الارتفاع يساوي نصف القطر

الشرح: م = π نق² + ٢π نق ع و ع = ٢٧ ÷ نق²، فـ م = π نق² + ٥٤π ÷ نق، و م׳ = ٢π نق − ٥٤π ÷ نق² = ٠ عند نق = ٣ فيكون ع = ٣. فالارتفاع يساوي نصف القطر، بخلاف الأسطوانة المغلقة التي يساوي ارتفاعها القطر.

الإجابة الصحيحة: (د) ٦٤

الشرح: س = ١٢ − ٢ص، فـ د(ص) = (١٢ − ٢ص)ص² = ١٢ص² − ٢ص³، و د׳(ص) = ٢٤ص − ٦ص² = ٠ عند ص = ٤ (س = ٤)، و د״(٤) = ٢٤ − ٤٨ سالبة، فأكبر قيمة = ٤ × ١٦ = ٦٤.

الإجابة الصحيحة: (ب) √١١ ÷ ٢

الشرح: مربع المسافة ف(س) = (س − ٣)² + س، و ف׳(س) = ٢(س − ٣) + ١ = ٠ عند س = ٥/٢، و ف״ = ٢ موجبة. أقصر مسافة = √(١/٤ + ٥/٢) = √(١١/٤) = √١١ ÷ ٢، أما √٣ فهي المسافة إلى النقطة (٣، √٣) وليست الأقصر.