الرياضيات البحتة — أولاً: الجبر والهندسة الفراغية · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 38 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كان و = (١، ٢، ٣) و ه = (٢، ٠، -١) فإن ٢و - ه يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ج) (٠، ٤، ٧)
الشرح: الخطوة ١: ٢و = (٢، ٤، ٦) الخطوة ٢: ٢و - ه = (٢-٢ ، ٤-٠ ، ٦-(-١)) الخطوة ٣: = (٠، ٤، ٧) ∴ الناتج = (٠، ٤، ٧)
طول المتجه و = (١، ٤، ٨) يساوي:
الإجابة الصحيحة: (د) ٩
الشرح: الخطوة ١: |و| = جذر [١² + ٤² + ٨²] الخطوة ٢: = جذر [١ + ١٦ + ٦٤] الخطوة ٣: = جذر ٨١ = ٩ ∴ الطول = ٩ وحدات
إذا كانت أ(١، ٠، ٢) و ب(٤، ٣، ٥) فإن مركّبات المتجه أب هي:
الإجابة الصحيحة: (ب) (٣، ٣، ٣)
الشرح: الخطوة ١: أب = ب - أ (إحداثيات النهاية ناقص إحداثيات البداية) الخطوة ٢: = (٤-١ ، ٣-٠ ، ٥-٢) الخطوة ٣: = (٣، ٣، ٣) ∴ أب = (٣، ٣، ٣)
إذا كانت ٦٠°، ٤٥°، θ هي قياسات زوايا الاتجاه لمتجه في الفراغ، وكانت θ زاوية منفرجة، فإن θ =
الإجابة الصحيحة: (د) ١٢٠°
الشرح: جتا²٦٠° + جتا²٤٥° + جتا²θ = ١، أي ١/٤ + ١/٢ + جتا²θ = ١ ومنها جتا²θ = ١/٤. وبما أن θ منفرجة فإن جتاθ = −١/٢ و θ = ١٢٠°. (لا يُشترط أن يكون مجموع زوايا الاتجاه ١٨٠°، لذا ٧٥° خطأ.)
متجه معياره ١٠ وحدات، وقياسات زوايا اتجاهه مع الاتجاهات الموجبة للمحاور س، ص، ع هي ١٢٠°، ٤٥°، ٦٠° على الترتيب. هذا المتجه هو:
الإجابة الصحيحة: (أ) −٥س⃗ + ٥√٢ص⃗ + ٥ع⃗
الشرح: كل مركبة = المعيار × جيب تمام زاوية الاتجاه المناظرة: ١٠ جتا١٢٠° = −٥، ١٠ جتا٤٥° = ٥√٢، ١٠ جتا٦٠° = ٥. (تحقق: ٢٥ + ٥٠ + ٢٥ = ١٠٠.) الخلط بين جا وجتا يعطي ٥√٣ بدل ٥ في المركبتين الأولى والثالثة.
متجه الوحدة المضاد في الاتجاه للمتجه و = (٢، -١، ٢) هو:
الإجابة الصحيحة: (أ) (-٢/٣، ١/٣، -٢/٣)
الشرح: الخطوة ١: |و| = جذر [٢²+(-١)²+٢²] = جذر ٩ = ٣ الخطوة ٢: متجه الوحدة في اتجاه و = (٢/٣، -١/٣، ٢/٣) الخطوة ٣: المضاد في الاتجاه = -(٢/٣، -١/٣، ٢/٣) = (-٢/٣، ١/٣، -٢/٣) ∴ الإجابة = (-٢/٣، ١/٣، -٢/٣)
المتجه الذي معياره ٢٢ وحدة وفي عكس اتجاه المتجه أ⃗ = (٢، -٦، ٩) هو:
الإجابة الصحيحة: (أ) (-٤، ١٢، -١٨)
الشرح: الخطوة ١: ||أ⃗|| = √(٤ + ٣٦ + ٨١) = √١٢١ = ١١ الخطوة ٢: متجه الوحدة في عكس اتجاه أ⃗ = -(٢، -٦، ٩)/١١ = (-٢/١١، ٦/١١، -٩/١١) الخطوة ٣: المتجه المطلوب = ٢٢ × (-٢/١١، ٦/١١، -٩/١١) ∴ المتجه = (-٤، ١٢، -١٨)
متجه معياره ٦ وحدات، ويصنع مع الاتجاهين الموجبين لمحوري س، ص زاويتين قياساهما ١٣٥°، ٦٠° على الترتيب، ويصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور ع. هذا المتجه هو:
الإجابة الصحيحة: (د) -٣√٢س⃗ + ٣ص⃗ + ٣ع⃗
الشرح: الخطوة ١: جتا² θس + جتا² θص + جتا² θع = ١، أي ½ + ¼ + جتا² θع = ١، إذن جتا² θع = ¼. الخطوة ٢: θع حادة، إذن جتا θع = ½. الخطوة ٣: المتجه = ٦(جتا ١٣٥° س⃗ + جتا ٦٠° ص⃗ + جتا θع ع⃗) = ٦(-√٢/٢ س⃗ + ½ ص⃗ + ½ ع⃗) ∴ المتجه = -٣√٢س⃗ + ٣ص⃗ + ٣ع⃗
المتجه أ⃗ معياره ٨ وحدات ويصنع زاوية قياسها ٦٠° مع الاتجاه الموجب لمحور ع، ومسقطه على المستوى الإحداثي س ص يقع في الربع الأول ويصنع زاوية قياسها ٣٠° مع الاتجاه الموجب لمحور س. المتجه أ⃗ هو:
الإجابة الصحيحة: (ج) ٦س⃗ + ٢√٣ص⃗ + ٤ع⃗
الشرح: المركبة في اتجاه ع = ٨ جتا٦٠° = ٤، وطول مسقطه على المستوى س ص = ٨ جا٦٠° = ٤√٣. نحلل المسقط: المركبة في اتجاه س = ٤√٣ جتا٣٠° = ٦، وفي اتجاه ص = ٤√٣ جا٣٠° = ٢√٣. (تحقق: ٣٦ + ١٢ + ١٦ = ٦٤ = ٨².)
متجه معياره ٤√٣ وحدة، ويصنع زوايا حادة متساوية في القياس مع الاتجاهات الموجبة لمحاور الإحداثيات. هذا المتجه هو:
الإجابة الصحيحة: (ج) ٤س⃗ + ٤ص⃗ + ٤ع⃗
الشرح: θس = θص = θع = θ، فإن ٣جتا²θ = ١ ومنها جتاθ = ١/√٣ (الزوايا حادة). كل مركبة = ٤√٣ × ١/√٣ = ٤. (أخذ جتاθ = ١/٣ يعطي ٤/√٣ لكل مركبة، ومعيار ذلك المتجه ٤ فقط.)
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.