الرياضيات البحتة — أولاً: الجبر والهندسة الفراغية · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 68 سؤال على الدرس ده بالشرح.
إذا كان ‖أ⃗‖ = ٦، وقياس الزاوية بين المتجهين أ⃗، ب⃗ يساوي ١٢٠°، فإن مركبة المتجه أ⃗ في اتجاه ب⃗ تساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) −٣
الشرح: مركبة أ⃗ في اتجاه ب⃗ = ‖أ⃗‖ جتاθ = ٦ جتا١٢٠° = ٦ × (−١/٢) = −٣. الإشارة السالبة لأن الزاوية منفرجة.
أي من المتجهات الآتية يوازي المتجه (١، ٢، ٣)؟
الإجابة الصحيحة: (ج) (٢، ٤، ٦)
الشرح: الخطوة ١: المتجه الموازي يكون مضاعفًا قياسيًا للمتجه الأصلي الخطوة ٢: (٢، ٤، ٦) = ٢ × (١، ٢، ٣) الخطوة ٣: إذن هو يوازي المتجه المعطى ∴ الإجابة = (٢، ٤، ٦)
إذا كان المتجهان و = (٢، ٣، ك) و ه = (١، -٢، ٢) متعامدين، فإن قيمة ك تساوي:
الإجابة الصحيحة: (د) ٢
الشرح: الخطوة ١: شرط التعامد: و · ه = ٠ الخطوة ٢: (٢)(١) + (٣)(-٢) + (ك)(٢) = ٠ الخطوة ٣: ٢ - ٦ + ٢ك = ٠ ← ٢ك = ٤ الخطوة ٤: ك = ٢ ∴ ك = ٢
النقاط أ(١، ٢، ٣)، ب(٢، ٤، ٦)، ج(٣، ٦، ٩) تكون:
الإجابة الصحيحة: (أ) على استقامة واحدة
الشرح: الخطوة ١: أب = (١، ٢، ٣) ، أج = (٢، ٤، ٦) الخطوة ٢: أج = ٢ × أب أي المتجهان متوازيان ويشتركان في النقطة أ الخطوة ٣: إذن النقاط الثلاث على استقامة واحدة ∴ النقاط على استقامة واحدة
متجه يتعامد مع كلٍّ من و = (١، ٢، ١) و ه = (٢، ١، -١) هو:
الإجابة الصحيحة: (أ) (١، -١، ١)
الشرح: الخطوة ١: المتجه المتعامد مع كليهما = و × ه الخطوة ٢: و × ه = (٢×(-١)-١×١ ، -(١×(-١)-١×٢) ، ١×١-٢×٢) الخطوة ٣: = (-٣، ٣، -٣) = -٣(١، -١، ١) الخطوة ٤: إذن (١، -١، ١) يتعامد مع المتجهين (تحقّق: ضربه القياسي مع كلٍّ منهما = ٠) ∴ الإجابة = (١، -١، ١)
قياس الزاوية بين المتجهين و = (١، ٠، ١) و ه = (١، ١، ٠) يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) ٦٠°
الشرح: الخطوة ١: و · ه = ١×١ + ٠×١ + ١×٠ = ١ الخطوة ٢: |و| = جذر ٢ ، |ه| = جذر ٢ الخطوة ٣: جتا(θ) = ١ ÷ ( جذر ٢ × جذر ٢) = ١/٢ الخطوة ٤: θ = ٦٠° ∴ الزاوية = ٦٠°
نوع الزاوية بين المتجهين و = (١، ٢، -٢) و ه = (٢، -١، ٢):
الإجابة الصحيحة: (د) منفرجة
الشرح: الخطوة ١: و · ه = ١×٢ + ٢×(-١) + (-٢)×٢ الخطوة ٢: = ٢ - ٢ - ٤ = -٤ الخطوة ٣: بما أن الضرب القياسي سالب (أصغر من الصفر) فالزاوية منفرجة ∴ الزاوية منفرجة
في المثلث الذي رؤوسه أ(١، ٠، ٠)، ب(٠، ١، ٠)، ج(٠، ٠، ١)، قياس الزاوية عند الرأس أ يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) ٦٠°
الشرح: الخطوة ١: أب = ب - أ = (-١، ١، ٠) ، أج = ج - أ = (-١، ٠، ١) الخطوة ٢: أب · أج = (-١)(-١) + (١)(٠) + (٠)(١) = ١ الخطوة ٣: |أب| = جذر ٢ ، |أج| = جذر ٢ ، جتا(أ) = ١ ÷ ( جذر ٢× جذر ٢) = ١/٢ الخطوة ٤: الزاوية عند أ = ٦٠° ∴ الزاوية = ٦٠°
متجه الوحدة العمودي على كلٍّ من و = (١، ٢، ٢) و ه = (٢، -٢، ١) هو:
الإجابة الصحيحة: (ب) (٢/٣، ١/٣، -٢/٣)
الشرح: الخطوة ١: و × ه = (٢×١-٢×(-٢) ، -(١×١-٢×٢) ، ١×(-٢)-٢×٢) الخطوة ٢: = (٦، ٣، -٦) ، وطوله = جذر [٣٦+٩+٣٦] = جذر ٨١ = ٩ الخطوة ٣: متجه الوحدة = (٦، ٣، -٦) ÷ ٩ = (٢/٣، ١/٣، -٢/٣) ∴ الإجابة = (٢/٣، ١/٣، -٢/٣)
المتجهات و = (١، ٠، ٠)، ه = (٠، ٢، ٠)، ز = (١، ١، ك) تُنشئ متوازي سطوح حجمه ٦ وحدات مكعبة (ك أكبر من الصفر). قيمة ك:
الإجابة الصحيحة: (ب) ٣
الشرح: الخطوة ١: الحجم = القيمة المطلقة للمحدد = |١(٢×ك - ٠×١)| = |٢ك| الخطوة ٢: ٢ك = ٦ (لأن ك موجبة) الخطوة ٣: ك = ٣ ∴ ك = ٣
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.