الرياضيات البحتة — ثانياً: التفاضل والتكامل · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 69 سؤال على الدرس ده بالشرح.
توجد للدالة د(س) = 2س³ − 9س² + 12س قيمة عظمى محلية عند:
الإجابة الصحيحة: (د) س = 1
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = 6س² − 18س + 12 = 6(س − 1)(س − 2). الخطوة ٢: د׳(س) = 0 → س = 1 أو س = 2. الخطوة ٣: د״(س) = 12س − 18 ، د״(1) = −6 أصغر من الصفر → قيمة عظمى عند س = 1. ∴ القيمة العظمى المحلية عند س = 1.
القيمة العظمى المحلية للدالة د(س) = −س² + 2س + 1 تساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) 2
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = −2س + 2. الخطوة ٢: د׳(س) = 0 → س = 1. الخطوة ٣: د״(س) = −2 أصغر من الصفر → قيمة عظمى محلية عند س = 1. الخطوة ٤: د(1) = −1 + 2 + 1 = 2. ∴ القيمة العظمى المحلية = 2.
النقطة الحرجة للدالة د(س) = س² + 2س + 5 تمثل:
الإجابة الصحيحة: (أ) قيمة صغرى محلية
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = 2س + 2. الخطوة ٢: د׳(س) = 0 → س = −1. الخطوة ٣: د״(س) = 2 أكبر من الصفر → قيمة صغرى محلية. ∴ النقطة الحرجة قيمة صغرى محلية.
إذا كانت د׳(س) = (س + 1)²(س − 2) فإن النقطة الحرجة التي لا تمثل قيمة قصوى محلية هي:
الإجابة الصحيحة: (د) س = −1
الشرح: الخطوة ١: النقاط الحرجة عند س = −1 (جذر مكرر) و س = 2. الخطوة ٢: (س + 1)² ≥ 0 دائماً، فإشارة ق׳ من إشارة (س − 2). الخطوة ٣: عند س = −1 لا تتغير إشارة ق׳ → ليست قيمة قصوى محلية. الخطوة ٤: عند س = 2 تتغير الإشارة من سالب إلى موجب → قيمة صغرى. ∴ النقطة التي لا تمثل قيمة قصوى هي س = −1.
القيم القصوى المطلقة للدالة د(س) = س³ − ٣س + ٢ على الفترة [−٢، ٣] هي:
الإجابة الصحيحة: (أ) عظمى مطلقة ٢٠ وصغرى مطلقة ٠
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٣س² − ٣ = ٣(س − ١)(س + ١) = ٠ عندما س = −١ أو س = ١ ، وكلاهما في الفترة. الخطوة ٢: د(−٢) = −٨ + ٦ + ٢ = ٠ ، د(−١) = −١ + ٣ + ٢ = ٤ ، د(١) = ١ − ٣ + ٢ = ٠ ، د(٣) = ٢٧ − ٩ + ٢ = ٢٠. الخطوة ٣: بالمقارنة: أكبر قيمة ٢٠ (عند طرف الفترة س = ٣) وأصغر قيمة ٠ (عند س = −٢ و س = ١). الخطوة ٤: إذن العظمى المطلقة ٢٠ والصغرى المطلقة ٠
أوجد القيمة الصغرى للدالة د(س) = س + ١٦/س حيث س أكبر من الصفر.
الإجابة الصحيحة: (أ) ٨
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ١ − ١٦/س² الخطوة ٢: نضع د׳(س) = ٠: ١ − ١٦/س² = ٠ ومنها س² = ١٦ أي س = ٤ (لأن س موجب) الخطوة ٣: د״(س) = ٣٢/س³ موجبة عند س = ٤ إذن نهاية صغرى الخطوة ٤: القيمة الصغرى = ٤ + ١٦/٤ = ٤ + ٤ = ٨ ∴ القيمة الصغرى = ٨
عدد القيم القصوى المحلية للدالة د(س) = (س − 1)³ يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ج) 0
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = 3(س − 1)². الخطوة ٢: د׳(س) = 0 → س = 1 (نقطة حرجة وحيدة). الخطوة ٣: (س − 1)² ≥ 0 دائماً، فإشارة ق׳ لا تتغير (موجبة على الجانبين) → لا توجد قيمة قصوى. ∴ عدد القيم القصوى المحلية = 0.
إذا كان للدالة د(س) = أ س + ب/س (حيث س موجبة) قيمة صغرى محلية تساوي ١٢ عند س = ٢ ، فإن قيمة ب تساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) ١٢
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = أ − ب/س² ، وعند س = ٢: د׳(٢) = ٠ فإن أ − ب/٤ = ٠ ، أي ب = ٤أ. الخطوة ٢: د(٢) = ١٢: ٢أ + ب/٢ = ١٢ ، وبالتعويض: ٢أ + ٢أ = ١٢ فإن أ = ٣. الخطوة ٣: ب = ٤ × ٣ = ١٢. الخطوة ٤: التحقق: د׳(س) = ٣ − ١٢/س² سالبة قبل س = ٢ (د׳(١) = −٩) وموجبة بعدها (د׳(٣) = ٥/٣)، فعند س = ٢ قيمة صغرى محلية. الخطوة ٥: إذن ب = ١٢
إذا كان للدالة د(س) = أ س³ − 3س + 2 نقطة حرجة عند س = 1 ، فأوجد قيمة الثابت أ.
الإجابة الصحيحة: (ب) 1
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = 3أ س² − 3. الخطوة ٢: عند النقطة الحرجة د׳(1) = 0 → 3أ(1)² − 3 = 0 → 3أ − 3 = 0. الخطوة ٣: 3أ = 3 → أ = 1. ∴ أ = 1.
إذا كانت للدالة د(س) = 2س³ + أ س² + ب س نقطتان حرجتان عند س = −1 و س = 2، فإن القيمة الصغرى المحلية للدالة تساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) −20
الشرح: د׳(س) = 6س² + 2أ س + ب = 6(س + 1)(س − 2) = 6س² − 6س − 12، فـ أ = −3، ب = −12. د״(س) = 12س − 6 وقيمتها عند 2 تساوي 18 موجبة، فالصغرى د(2) = 16 − 12 − 24 = −20، أما 7 فهي القيمة العظمى المحلية عند س = −1.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.