الرياضيات البحتة — أولاً: الجبر والهندسة الفراغية · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 40 سؤال على الدرس ده بالشرح.
اكتب المعادلة الإحداثية (المتماثلة) للمستقيم المار بالنقطة (2، −1، 5) وله الاتجاه (3، 2، −4).
الإجابة الصحيحة: (أ) (س−2)/3 = (ص+1)/2 = (ع−5)/(−4)
الشرح: الخطوة ١: الصيغة المتماثلة: (س−س₀)/أ = (ص−ص₀)/ب = (ع−ع₀)/جـ. الخطوة ٢: بالنقطة (2، −1، 5) والاتجاه (3، 2، −4). ∴ (س−2)/3 = (ص+1)/2 = (ع−5)/(−4)
ما إحداثيات نقطة يمر بها المستقيم: (س−1)/2 = (ص+3)/(−1) = (ع−4)/5 ؟
الإجابة الصحيحة: (أ) (1، −3، 4)
الشرح: الخطوة ١: الصيغة (س−س₀)/أ = (ص−ص₀)/ب = (ع−ع₀)/جـ تعطي النقطة (س₀، ص₀، ع₀). الخطوة ٢: من (س−1)/2 = (ص+3)/(−1) = (ع−4)/5 نقرأ س₀ = 1، ص₀ = −3، ع₀ = 4. ∴ النقطة (1، −3، 4)
أوجد متجه اتجاه المستقيم المار بالنقطتين أ(2، 1، 3)، ب(5، 4، 1).
الإجابة الصحيحة: (د) (3، 3، −2)
الشرح: الخطوة ١: متجه اتجاه المستقيم = ب − أ. الخطوة ٢: ب − أ = (5−2، 4−1، 1−3) = (3، 3، −2). ∴ متجه الاتجاه = (3، 3، −2)
طول العمود المرسوم من النقطة (−٣، ١، ٥) على المستقيم ر⃗ = (١، −١، ٢) + ك(١، ٢، ٢) يساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) ٥
الشرح: أ(١، −١، ٢) على المستقيم، وبفرض ب(−٣، ١، ٥): أب⃗ = (−٤، ٢، ٣) وطوله √٢٩. مسقطه على المستقيم = |أب⃗ · هـ⃗| ÷ ‖هـ⃗‖ = |−٤ + ٤ + ٦| ÷ ٣ = ٢. البعد العمودي = √(٢٩ − ٢²) = ٥. (√٢٩ هو طول أب⃗ نفسه.)
أوجد جيب تمام الزاوية بين المستقيمين: (س)/1 = (ص−1)/2 = (ع)/2 ، (س−3)/2 = (ص)/2 = (ع+1)/1.
الإجابة الصحيحة: (د) 8/9
الشرح: الخطوة ١: د₁ = (1، 2، 2)، د₂ = (2، 2، 1). الخطوة ٢: د₁·د₂ = 2 + 4 + 2 = 8. الخطوة ٣: |د₁| = 3، |د₂| = 3. الخطوة ٤: جتا θ = 8 ÷ (3 × 3) = 8/9. ∴ جتا الزاوية = 8/9
المستقيمان ر⃗₁ = (١، ٢، ٣) + ك₁(٢، −١، ٤)، ر⃗₂ = (٥، ٠، ١١) + ك₂(−٤، ٢، −٨):
الإجابة الصحيحة: (ب) منطبقان
الشرح: هـ⃗₂ = −٢هـ⃗₁ فالمستقيمان متوازيان. والنقطة (٥، ٠، ١١) من ل₂ تحقق ل₁ عند ك₁ = ٢: (١ + ٤، ٢ − ٢، ٣ + ٨) = (٥، ٠، ١١). المستقيمان متوازيان ونقطة على أحدهما تحقق الآخر، إذن منطبقان.
إذا كان المستقيم (س - ١)/٢ = (ص + ٢)/(-١) = ع/م عموديًا على المستقيم ر = (٠، ١، ١) + ك(٣، ٤، -٢)، فإن م =
الإجابة الصحيحة: (ج) ١
الشرح: الخطوة ١: متجه اتجاه المستقيم الأول هـ١ = (٢، -١، م)، ومتجه اتجاه الثاني هـ٢ = (٣، ٤، -٢). الخطوة ٢: المستقيمان متعامدان، إذن هـ١ · هـ٢ = ٠: ٦ - ٤ - ٢م = ٠. الخطوة ٣: ٢ - ٢م = ٠ ومنها م = ١.
إذا كان المستقيمان ر⃗₁ = (١، −١، ن) + ك₁(٢، ١، ٣)، ر⃗₂ = (٤، ٢، ٣) + ك₂(١، ٢، −١) متقاطعين، فإن ن =
الإجابة الصحيحة: (ج) ١
الشرح: بمساواة الإحداثيين س، ص: ١ + ٢ك₁ = ٤ + ك₂، −١ + ك₁ = ٢ + ٢ك₂، وبالحل ك₁ = ١، ك₂ = −١. وبالتعويض في معادلة ع: ن + ٣(١) = ٣ − (−١) = ٤ ومنها ن = ١، ونقطة التقاطع (٣، ٠، ٤). (٤ هو الإحداثي ع لنقطة التقاطع وليس ن.)
ما وضع المستقيمين ر = (1، 1، 0) + ت(1، 2، −1) و ر = (2، 0، 1) + ك(−2، −4، 2)؟
الإجابة الصحيحة: (د) متوازيان غير منطبقين
الشرح: (−2، −4، 2) = −2(1، 2، −1) فالمستقيمان متوازيان أو منطبقان. المتجه بين النقطتين (1، −1، 1) لا يوازي (1، 2، −1)، فالنقطة (2، 0، 1) لا تقع على الأول، إذن هما متوازيان غير منطبقين.
المستقيم ل يمر بالنقطة أ(١، ٢، ٣) ومتجه اتجاهه (٢، -١، ٢). النقطتان على ل اللتان تبعد كل منهما ٦ وحدات عن أ هما:
الإجابة الصحيحة: (ج) (٥، ٠، ٧) أو (-٣، ٤، -١)
الشرح: الخطوة ١: أي نقطة على ل: ب = (١ + ٢ك، ٢ - ك، ٣ + ٢ك)، فإن أ ب = ك(٢، -١، ٢). الخطوة ٢: ‖أ ب‖ = |ك| × √(٤ + ١ + ٤) = ٣|ك| = ٦، إذن ك = ±٢. الخطوة ٣: عند ك = ٢: ب = (٥، ٠، ٧)، وعند ك = -٢: ب = (-٣، ٤، -١).
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.