الرياضيات البحتة — ثانياً: التفاضل والتكامل · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 68 سؤال على الدرس ده بالشرح.
بالون كروي يُنفخ فيتزايد نصف قطره بمعدل 1 سم/ث. أوجد معدل تزايد حجمه عندما يكون نق = 10 سم.
الإجابة الصحيحة: (ج) 400π سم³/ث
الشرح: الخطوة ١: ح = (4/3)π نق³. الخطوة ٢: ءح/ءن = 4π نق² × ءنق/ءن. الخطوة ٣: بالتعويض بـ نق = 10 و ءنق/ءن = 1: ءح/ءن = 4π × 100 × 1. ∴ معدل تزايد الحجم = 400π سم³/ث.
مكعب طول حرفه يتزايد بمعدل 2 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة سطحه الكلية عندما يكون طول الحرف 3 سم.
الإجابة الصحيحة: (أ) 72 سم²/ث
الشرح: الخطوة ١: مساحة سطح المكعب م = 6ل². الخطوة ٢: بالاشتقاق: ءم/ءن = 12ل × ءل/ءن. الخطوة ٣: بالتعويض بـ ل = 3 و ءل/ءن = 2: ءم/ءن = 12 × 3 × 2. ∴ معدل تزايد المساحة = 72 سم²/ث.
نصف قطر دائرة يتزايد بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تزايد محيطها.
الإجابة الصحيحة: (ج) 6π سم/ث
الشرح: الخطوة ١: محيط الدائرة = 2π نق. الخطوة ٢: بالاشتقاق بالنسبة للزمن: ء(المحيط)/ءن = 2π × ءنق/ءن. الخطوة ٣: بالتعويض بـ ءنق/ءن = 3: = 2π × 3. ∴ معدل تزايد المحيط = 6π سم/ث (ولا يعتمد على نصف القطر).
أُلقي حجر في بركة ساكنة فتكوّنت دوائر متموجة يتزايد نصف قطرها بمعدل 4 سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة الدائرة عندما يكون نق = 10 سم.
الإجابة الصحيحة: (ج) 80π سم²/ث
الشرح: الخطوة ١: م = π نق². الخطوة ٢: ءم/ءن = 2π نق × ءنق/ءن. الخطوة ٣: بالتعويض بـ نق = 10 و ءنق/ءن = 4: ءم/ءن = 2π × 10 × 4. ∴ معدل تزايد المساحة = 80π سم²/ث.
يُصب الماء في خزان مخروطي رأسه لأسفل بمعدل 9π سم³/ث، وكان نصف قطر سطح الماء يساوي نصف ارتفاعه دائماً. أوجد معدل ارتفاع الماء عندما يكون الارتفاع 6 سم.
الإجابة الصحيحة: (ب) 1 سم/ث
الشرح: الخطوة ١: نق = ع/2 ومنها ح = (1/3)π نق² ع = (1/3)π (ع/2)² ع = π ع³/12. الخطوة ٢: بالاشتقاق: ءح/ءن = (π ع²/4) × ءع/ءن. الخطوة ٣: بالتعويض بـ ع = 6: 9π = (π × 36/4) × ءع/ءن = 9π × ءع/ءن. ∴ معدل ارتفاع الماء = 1 سم/ث.
في دائرة كهربية: جـ = ت × م حيث جـ فرق الجهد (فولت)، ت شدة التيار (أمبير)، م المقاومة (أوم). إذا كان فرق الجهد ثابتًا ويساوي ١٢ فولت، والمقاومة تتزايد بمعدل ٣ أوم/ث، فأوجد معدل تغير شدة التيار عندما م = ٤ أوم.
الإجابة الصحيحة: (د) يتناقص بمعدل ٩/٤ أمبير/ث
الشرح: الخطوة ١: جـ = ت × م ، وبالاشتقاق بالنسبة للزمن مع ثبوت جـ: ٠ = ت × ءم/ءن + م × ءت/ءن. الخطوة ٢: عندما م = ٤ أوم: ت = ١٢ ÷ ٤ = ٣ أمبير. الخطوة ٣: ٠ = ٣ × ٣ + ٤ × ءت/ءن ومنها ءت/ءن = −٩/٤ أمبير/ث. الخطوة ٤: إذن شدة التيار تتناقص بمعدل ٩/٤ أمبير/ث
يُصب الماء في خزان أسطواني نصف قطر قاعدته 4 سم بمعدل 32π سم³/ث. أوجد معدل ارتفاع سطح الماء.
الإجابة الصحيحة: (ج) 2 سم/ث
الشرح: الخطوة ١: حجم الماء ح = π نق² ع، ونصف القطر ثابت = 4 ومنها ح = 16π ع. الخطوة ٢: بالاشتقاق: ءح/ءن = 16π × ءع/ءن. الخطوة ٣: بالتعويض: 32π = 16π × ءع/ءن. ∴ معدل ارتفاع الماء = 2 سم/ث.
متوازي مستطيلات قاعدته مربعة، يتزايد طول ضلع قاعدته بمعدل ١ سم/ث ويتناقص ارتفاعه بمعدل ٢ سم/ث. إذا كان طول ضلع القاعدة في البداية ٤ سم والارتفاع ٢٠ سم، فبعد كم ثانية يتوقف حجمه عن الزيادة؟
الإجابة الصحيحة: (أ) ١٦/٣ ث
الشرح: الخطوة ١: بعد ن ثانية: طول ضلع القاعدة س = ٤ + ن ، والارتفاع ع = ٢٠ − ٢ن. الخطوة ٢: الحجم ح = س² ع ، ءح/ءن = ٢س ع × ءس/ءن + س² × ءع/ءن = ٢س ع − ٢س² = ٢س (ع − س). الخطوة ٣: يتوقف الحجم عن الزيادة عندما ءح/ءن = ٠ أي عندما ع = س. الخطوة ٤: ٢٠ − ٢ن = ٤ + ن ومنها ن = ١٦/٣ ث. الخطوة ٥: إذن بعد ١٦/٣ ث يتوقف الحجم عن الزيادة
يرتفع بالون رأسيًا بسرعة 3 م/ث من نقطة على أرض أفقية، ويرصده شخص على بعد 40 م من نقطة الإطلاق. معدل تزايد قياس زاوية ارتفاع البالون عندما يكون على ارتفاع 30 م:
الإجابة الصحيحة: (أ) 6/125 راديان/ث
الشرح: ظا θ = ع ÷ 40، فـ قا² θ × ءθ/ءن = (1/40) × ءع/ءن. عند ع = 30: قا² θ = 1 + (3/4)² = 25/16، إذن ءθ/ءن = (3/40) × (16/25) = 6/125 راديان/ث.
أسطوانة دائرية قائمة يتزايد نصف قطرها بمعدل 2 سم/ث بينما يتناقص ارتفاعها بمعدل 3 سم/ث. أوجد معدل تغير حجمها عندما يكون نصف القطر 4 سم والارتفاع 10 سم.
الإجابة الصحيحة: (أ) 112π سم³/ث
الشرح: الخطوة ١: ح = π نق² ع. الخطوة ٢: بالاشتقاق: ءح/ءن = π[2نق ع (ءنق/ءن) + نق² (ءع/ءن)]. الخطوة ٣: ءنق/ءن = 2 و ءع/ءن = −3 و نق = 4 و ع = 10. الخطوة ٤: ءح/ءن = π[2(4)(10)(2) + (16)(−3)] = π[160 − 48] = 112π. ∴ معدل تغير الحجم = 112π سم³/ث (يتزايد).
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.