الرياضيات البحتة — ثانياً: التفاضل والتكامل · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 49 سؤال على الدرس ده بالشرح.
ما نوع تحدب منحنى الدالة د(س) = س² + ٤س + ٣؟
الإجابة الصحيحة: (د) محدب لأسفل في كل مجاله
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٢س + ٤ الخطوة ٢: د״(س) = ٢ الخطوة ٣: د״(س) = ٢ أكبر من ٠ لكل قيم س ∴ المنحنى محدب لأسفل في كل مجاله (ولا توجد نقاط انقلاب)
أوجد نقطة الانقلاب لمنحنى الدالة د(س) = س³ − ٦س² + ٩س + ١
الإجابة الصحيحة: (ب) (٢، ٣)
الشرح: الخطوة ١: نوجد المشتقة الأولى: د׳(س) = ٣س² − ١٢س + ٩ الخطوة ٢: نوجد المشتقة الثانية: د״(س) = ٦س − ١٢ الخطوة ٣: نضع د״(س) = ٠: ٦س − ١٢ = ٠ ومنها س = ٢ الخطوة ٤: ق״ سالبة عندما س أصغر من ٢ وموجبة عندما س أكبر من ٢، فالإشارة تتغيّر إذن توجد نقطة انقلاب الخطوة ٥: نوجد الصورة: د(٢) = ٨ − ٢٤ + ١٨ + ١ = ٣ ∴ نقطة الانقلاب هي (٢، ٣)
لتكن د قابلة للاشتقاق مرتين على فترة مفتوحة تحتوي على جـ ، وكان د′(جـ) = ٠ ، د″(جـ) < ٠. أي العبارات الآتية صحيحة؟
الإجابة الصحيحة: (ب) د(جـ) قيمة عظمى محلية
الشرح: حسب اختبار المشتقة الثانية: إذا كانت د′(جـ) = ٠ و د″(جـ) < ٠ فإن د(جـ) قيمة عظمى محلية. كما أن د″ < ٠ تعني أن المنحنى محدب لأعلى قرب جـ وليس محدبًا لأسفل.
في أي فترة يكون منحنى الدالة د(س) = س³ + ٣س² − ٩س + ٢ محدباً لأعلى؟
الإجابة الصحيحة: (د) ]−∞، −١[
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٣س² + ٦س − ٩ الخطوة ٢: د״(س) = ٦س + ٦ الخطوة ٣: يكون المنحنى محدباً لأعلى عندما د״(س) سالبة: ٦س + ٦ أصغر من ٠ ومنها س أصغر من −١ ∴ الفترة هي ]−∞، −١[
إذا كان لمنحنى الدالة د(س) = س³ + كس² + س نقطة انقلاب عند س = ٢، فإن قيمة ك تساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) −٦
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٣س² + ٢كس + ١ الخطوة ٢: د״(س) = ٦س + ٢ك الخطوة ٣: عند نقطة الانقلاب د״(٢) = ٠: ٦(٢) + ٢ك = ٠ الخطوة ٤: ١٢ + ٢ك = ٠ ومنها ك = −٦ ∴ ك = −٦
إحدى نقطتي الانقلاب لمنحنى الدالة د(س) = س⁴ − ٤س³ هي:
الإجابة الصحيحة: (ب) (٢، −١٦)
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٤س³ − ١٢س² الخطوة ٢: د״(س) = ١٢س² − ٢٤س = ١٢س(س − ٢) الخطوة ٣: نضع د״(س) = ٠: س = ٠ أو س = ٢ (وتتغيّر الإشارة عند كلٍّ منهما فهما نقطتا انقلاب) الخطوة ٤: عند س = ٢: د(٢) = ١٦ − ٣٢ = −١٦ ∴ إحدى نقطتي الانقلاب هي (٢، −١٦)
ميل المماس لمنحنى الدالة د(س) = س³ − ٣س² + ٢س + ١ عند نقطة الانقلاب يساوي:
الإجابة الصحيحة: (ب) −١
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٣س² − ٦س + ٢ الخطوة ٢: د״(س) = ٦س − ٦ الخطوة ٣: نضع د״(س) = ٠: ٦س − ٦ = ٠ ومنها س = ١ (فاصلة نقطة الانقلاب) الخطوة ٤: الميل = د׳(١) = ٣ − ٦ + ٢ = −١ ∴ ميل المماس = −١
إذا كانت د(س) = س² + ٢س عندما س < ٠ ، د(س) = ٤س − س² عندما س ≥ ٠ ، فأي العبارات الآتية صحيحة بالنسبة للنقطة (٠، ٠) على منحنى د؟
الإجابة الصحيحة: (ب) ليست نقطة انقلاب لعدم وجود مماس للمنحنى عندها
الشرح: الخطوة ١: د″(س) = ٢ > ٠ عندما س < ٠ (محدب لأسفل) ، و د″(س) = −٢ < ٠ عندما س > ٠ (محدب لأعلى)، فاتجاه التحدب يتغير عند س = ٠. الخطوة ٢: المشتقة من اليمين عند ٠ تساوي ٤ ومن اليسار تساوي ٢ ، فالدالة غير قابلة للاشتقاق عند س = ٠ ولا يوجد مماس للمنحنى عند (٠، ٠). ∴ (٠، ٠) ليست نقطة انقلاب رغم تغير اتجاه التحدب (و د″(٠) غير موجودة أصلًا).
منحنى الدالة د(س) = كس³ + لس² له نقطة انقلاب عند النقطة (١، ٣). أوجد قيمة ك.
الإجابة الصحيحة: (ج) −٣/٢
الشرح: الخطوة ١: د׳(س) = ٣كس² + ٢لس، وق״(س) = ٦كس + ٢ل الخطوة ٢: شرط نقطة الانقلاب د״(١) = ٠: ٦ك + ٢ل = ٠ ومنها ل = −٣ك الخطوة ٣: المنحنى يمرّ بالنقطة (١، ٣): د(١) = ك + ل = ٣ الخطوة ٤: بالتعويض: ك + (−٣ك) = ٣ أي −٢ك = ٣ ومنها ك = −٣/٢ (و ل = ٩/٢) ∴ ك = −٣/٢
إذا كانت النقطة (١، ٢) نقطة انقلاب لمنحنى الدالة د(س) = س³ + أ س² + ب س، فإن ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة يساوي:
الإجابة الصحيحة: (د) ١
الشرح: د״(١) = ٦ + ٢أ = ٠ ومنها أ = −٣، و د(١) = ١ − ٣ + ب = ٢ ومنها ب = ٤. الميل = د׳(١) = ٣ + ٢أ + ب = ٣ − ٦ + ٤ = ١.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.