الرياضيات البحتة — أولاً: الجبر والهندسة الفراغية · الرياضيات. دي 10 أسئلة من بنك منصة مجموع على الدرس ده، من السهل للصعب. اضغط «اعرف الإجابة والشرح» تحت كل سؤال بعد ما تحله. على مجموع فيه 70 سؤال على الدرس ده بالشرح.
أوجد بُعد نقطة الأصل عن المستوى 2س + 3ص − 6ع = 14.
الإجابة الصحيحة: (ج) 2
الشرح: الخطوة ١: البُعد = |أس₀ + بص₀ + جـع₀ − د| ÷ جذر (أ²+ب²+جـ²). الخطوة ٢: عند نقطة الأصل (0، 0، 0): البسط = |−14| = 14. الخطوة ٣: المقام = جذر (4 + 9 + 36) = جذر 49 = 7. ∴ البُعد = 14 ÷ 7 = 2
أوجد بُعد النقطة (1، 2، −1) عن المستوى 2س − 2ص + ع + 9 = 0.
الإجابة الصحيحة: (د) 2
الشرح: الخطوة ١: البُعد = |2س₀ − 2ص₀ + ع₀ + 9| ÷ جذر (2²+(−2)²+1²). الخطوة ٢: البسط عند (1، 2، −1): |2 − 4 − 1 + 9| = |6| = 6. الخطوة ٣: المقام = جذر (4 + 4 + 1) = 3. ∴ البُعد = 6 ÷ 3 = 2
مستقيم يمر بالنقطة (0، 0، 5) واتجاهه (1، 2، 1)، والمستوى 2س − ص = 4؛ ما وضع المستقيم بالنسبة للمستوى؟
الإجابة الصحيحة: (ب) المستقيم موازٍ للمستوى
الشرح: الخطوة ١: العمودي على المستوى 2س − ص = 4 هو (2، −1، 0). الخطوة ٢: الضرب القياسي مع اتجاه المستقيم (1، 2، 1): 2 − 2 + 0 = 0. الخطوة ٣: النقطة (0، 0، 5) لا تحقق المعادلة: 0 − 0 = 0 ≠ 4، فالمستقيم خارج المستوى. ∴ المستقيم موازٍ للمستوى
أوجد قيمة ك التي تجعل المستقيم ذا الاتجاه (2، ك، −1) موازيًا للمستوى 3س + ص + ع = 5.
الإجابة الصحيحة: (ج) −5
الشرح: الخطوة ١: يوازي المستقيمُ المستوى إذا كان اتجاهه عموديًا على عمودي المستوى، أي الضرب القياسي = 0. الخطوة ٢: (2، ك، −1)·(3، 1، 1) = 6 + ك − 1 = 0. الخطوة ٣: ك + 5 = 0، إذًا ك = −5. ∴ ك = −5
أوجد نقطة تقاطع المستقيم س = 2 + ت، ص = −1 + 2ت، ع = 4 − ت مع مستوى س ص.
الإجابة الصحيحة: (ب) (6، 7، 0)
الشرح: الخطوة ١: مستوى س ص يعني ع = 0. الخطوة ٢: من ع = 4 − ت = 0 نجد ت = 4. الخطوة ٣: س = 2 + 4 = 6، ص = −1 + 8 = 7. ∴ نقطة التقاطع (6، 7، 0)
أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة (1، 2، −1) والموازي للمستوى 3س − 2ص + ع = 7.
الإجابة الصحيحة: (د) 3س − 2ص + ع + 2 = 0
الشرح: الخطوة ١: المستوى الموازي له نفس العمودي: 3س − 2ص + ع = د. الخطوة ٢: نعوّض بالنقطة (1، 2، −1): 3 − 4 − 1 = −2، إذًا د = −2. الخطوة ٣: المعادلة: 3س − 2ص + ع = −2. ∴ 3س − 2ص + ع + 2 = 0
خط تقاطع المستويين س + ص + ع = ٦، ٢س − ص + ع = ٣ يقطع المستوى الإحداثي س ص في النقطة:
الإجابة الصحيحة: (د) (٣، ٣، ٠)
الشرح: نقط المستوى س ص فيها ع = ٠: س + ص = ٦، ٢س − ص = ٣، وبالجمع ٣س = ٩ فإن س = ٣، ص = ٣، والنقطة (٣، ٣، ٠). النقطة (١، ٢، ٣) تقع على خط التقاطع لكنها ليست في المستوى س ص، و (٢، ٤، ٠) لا تحقق المستوى الثاني.
البعد بين المستويين 2س − 2ص + ع = 3 و 4س − 4ص + 2ع + 9 = 0 يساوي:
الإجابة الصحيحة: (أ) 5 ÷ 2
الشرح: بقسمة الثانية على 2: 2س − 2ص + ع + 9 ÷ 2 = 0، فالمستويان متوازيان. البعد = |−3 − 9 ÷ 2| ÷ √(4 + 4 + 1) = (15 ÷ 2) ÷ 3 = 5 ÷ 2. من يطرح الحدين المطلقين دون توحيد المعاملات يحصل على 4.
متجه اتجاه خط تقاطع المستويين س + 2ص − ع = 1 و 2س − ص + ع = 4 يوازي المتجه:
الإجابة الصحيحة: (د) (1، −3، −5)
الشرح: خط التقاطع يقع في المستويين معًا فيعامد العموديين (1، 2، −1) و (2، −1، 1)، فاتجاهه حاصل ضربهما الاتجاهي = (2 − 1، −(1 + 2)، −1 − 4) = (1، −3، −5). أما (1، 2، −1) فهو عمودي المستوى الأول وليس اتجاه الخط.
معادلة المستوى الذي يحتوي المستقيم (س − 1)/2 = (ص − 2)/3 = (ع − 3)/4 ويمر بنقطة الأصل هي:
الإجابة الصحيحة: (ب) س − 2ص + ع = 0
الشرح: العمودي يعامد اتجاه المستقيم (2، 3، 4) والمتجه من الأصل إلى النقطة (1، 2، 3)، فهو (1، 2، 3) × (2، 3، 4) = (−1، 2، −1). والمستوى يمر بالأصل: −س + 2ص − ع = 0 أي س − 2ص + ع = 0.
أول ١٠ أسئلة في كل مادة مجانية، وكل سؤال معاه شرح.